Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，頂點(diǎn)C在x軸正半軸上，頂點(diǎn)B在第一象限，過點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D，線段OA，OC的長(zhǎng)是一元二次方程x²-12x+36=0的兩根，BC=4$\sqrt{5}$，∠BAC=45°．
（1）求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；
（2）反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，求k的值；
（3）在y軸負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P，使以P，B，D為頂點(diǎn)的三角形與以P，O，A為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用因式分解法求出一元二次方程x²-12x+36=0的兩根即可求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E，設(shè)BE=x，求出CE，利用AE+CE=OA+OC列出x的方程，求出x的值，進(jìn)而求出點(diǎn)B坐標(biāo)，即可求出k的值；
（3）若點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸，△PDB∽△AOP，則$\frac{PD}{OA}$=$\frac{DB}{OP}$，即$\frac{OP+8}{6}$=$\frac{2}{OP}$，解方程求出OP的值即可．

解答 解：（1）解一元二次方程x²-12x+36=0，解得：x₁=x₂=6，
∴OA=OC=6，
∴A（-6，0），C（6，0）；

（2）如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E，
∵∠BAC=45°，
∴AE=BE，
設(shè)BE=x，
∵BC=4$\sqrt{5}$，
∴CE=$\sqrt{80-{x}^{2}}$，
∵AE+CE=OA+OC，
∴x+$\sqrt{80-{x}^{2}}$=12，
整理得：x²-12x+32=0，
解得：x₁=4（不合題意舍去），x₂=8
∴BE=8，OE=8-6=2，
∴B（2，8），
把B（2，8）代入y=$\frac{k}{x}$，得k=16．

（3）存在．
如圖2，若點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸，△PDB∽△AOP，
則$\frac{PD}{OA}$=$\frac{DB}{OP}$，
即$\frac{OP+8}{6}$=$\frac{2}{OP}$，
解得：OP=-4+2$\sqrt{7}$或-4-2$\sqrt{7}$，
則P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2$\sqrt{7}$-4）或（0，-4+2$\sqrt{7}$）（不合題意舍去）．
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，-2$\sqrt{7}$-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)綜合題，此題涉及到因式分解法解一元二次方程、勾股定理、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判斷與性質(zhì)等知識(shí)，解答本題（2）問的關(guān)鍵是求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，解答（3）問的關(guān)鍵是利用△PDB∽△AOP列出關(guān)于OP的等式，此題難度一般．