Question

9．我市AAAA景區(qū)有一處景觀奇異的望天洞，D點是望天洞的入口，游人從入口進洞后，可經(jīng)山洞到山頂?shù)某隹谕�A處觀光，最后坐纜車沿索道AB返回山腳下B處．在同一平面內(nèi)，若測得斜坡BD的長為120米，坡角為∠DBC=10°，在B出測得A的仰角∠ABC=40°，在D出測得A的仰角∠ADF=85°，過點D作地面BE的垂線，垂足為C．
（1）求∠ADB的度數(shù)；
（2）求索道AB的長（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

分析 （1）利用點D處的周角即可求得∠ADB的度數(shù)；
（2）首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及到兩個直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造三角關(guān)系，進而可求出答案．

解答 解：（1）∵DC⊥CE，
∴∠BCD=90°，
又∵∠DBC=10°，
∴∠BDC=80°，
∵∠ADF=85°，
∴∠ADB=360°-80°-90°-85°=105°；

（2）過點D作DG⊥AB于點G．
在Rt△GDB中，
∠GBD=40°-10°=30°，
∴∠BDG=90°-30°=60°，
又∵BD=100，
∴GD=BD=100×$\frac{1}{2}$=50，
∴GB=BD×cos30°=100×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=50$\sqrt{3}$，
在Rt△ADG=105°-60°=45°，
∴GD=GA=50，
∴AB=AG+GB=50+50$\sqrt{3}$，
答：索道長（50+50$\sqrt{3}$）米．

點評 本題考查仰角的定義及直角三角形的解法，首先構(gòu)造直角三角形，再借助角邊關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題，正確的構(gòu)造出直角三角形是解題關(guān)鍵．