Question

1．如圖，拋物線y=x²+bx+c交x軸于A（-3，0），B（-1，0）兩點，交y軸于點C．已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點A，C． 
（1）求拋物線的解析式；
（2）根據(jù)圖象，寫出滿足kx+b＞x²+bx+c的x的取值范圍；
（3）在平面直角坐標系xOy中是否存在點P，與A、B、C三點構(gòu)成一個平行四邊形？若存在，請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=0，求出y，可得C點坐標；將拋物線解析式改寫成交點式，可得A、B兩點的坐標；
（2）將拋物線解析式配成頂點式；
（3）設出F點的橫坐標，縱坐標用橫坐標表示，將三角形ABF的面積用F點的橫坐標表示出來，等于1，建立方程，解之即可；
（4）分三種情況，畫出圖形，分別算出即可．

解答 解：（1）將A（-3，0），B（-1，0）代入y=x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{9-3b+c=0}\\{1-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=x²+4x+3；
（2）不等式kx+b＞x²+bx+c等價于一次函數(shù)的圖象高于二次函數(shù)的圖象，
由圖象可知在A與O之間這個范圍內(nèi)，一次函數(shù)的圖象高于二次函數(shù)的圖象，
∴-3＜x＜0；
（3）∵A（-3，0），B（-1，0），
∴AB=2，
如圖：

若P₁ABC為平行四邊形，則P₁C∥AB，且P₁C=AB，
則P₁（-2，3）；
若CABP₂為平行四邊形，則P₂C∥AB，且P₂C=AB，
則P₂（2，3）；
若CAP₃B為平行四邊形，則BC∥P3A，且BC=P₃A，
則P3（-4，-3）；
綜上所述：滿足要求的P點坐標為：（-2，3），（2，3），（-4，-3）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖象法解不等式、平行四邊形的性質(zhì)等知識點，難度適中．第（1）問體現(xiàn)圖形結(jié)合的思想和方法，這一方法將在今后的數(shù)學學習中大量運用，要引起重視；第（3）問是常規(guī)考法，注意分類討論，考慮周全，不要漏解．