Question

12．如圖：已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE兩個(gè)角的角平分線相交于F．
（1）如圖1，若∠E=80°，求∠BFD的度數(shù)．
（2）如圖2：若∠ABM=$\frac{1}{3}$∠ABF，∠CDM=$\frac{1}{3}$∠CDF，寫出∠M和∠E之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）首先作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得∠ABE+∠CDE=280°，再利用角平分線的定義得到∠ABF+∠CDF=140°，從而得到∠BFD的度數(shù)；
（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠E，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代換，即可．

解答 解：（1）如圖1，作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥FH∥CD，
∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°
∵∠BED=∠BEG+∠DEG=80°，
∴∠ABE+∠CDE=280°，
∵∠ABF和∠CDF的角平分線相交于E，
∴∠ABF+∠CDF=140°，
∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=140°；

（2）∵∠ABM=$\frac{1}{3}$∠ABF，∠CDM=$\frac{1}{3}$∠CDF，
∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，
∵∠ABE與∠CDE兩個(gè)角的角平分線相交于點(diǎn)F，
∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，
∴6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°，
∵∠M=∠ABM+∠CDM，
∴6∠M+∠E=360°．

點(diǎn)評 本題主要考查了平行線的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和，關(guān)鍵在于掌握兩直線平行同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)．