Question

3．如圖1，四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=a，CD=b（a≠b），點(diǎn)E、F分別是AD、BC上的點(diǎn)，且EF∥AB，設(shè)EF到CD、AB的距離分別為d₁、d₂．
[初步嘗試]
小亮同學(xué)在對(duì)這一圖形進(jìn)行研究時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：
（1）當(dāng)$\frac{x0kflo0_{1}}{bq7rmwe_{2}}$=$\frac{1}{1}$時(shí)，有EF=$\frac{a+b}{2}$；
（2）當(dāng)$\frac{dkkcw4b_{1}}{skagqrb_{2}}$=$\frac{1}{2}$時(shí)，有EF=$\frac{a+2b}{3}$．
該同學(xué)思考研究（2）的過程如下：
作DG∥BC，交AB于G，作DM⊥AB于點(diǎn)M，交EF于點(diǎn)N．
顯然HF=CD=b，AG=AB-CD=a-b．
易證，△DEH∽△DAG，可得$\frac{DN}{DM}$=$\frac{EH}{AG}$，
即，$\frac{iov0sca_{1}}{eyhbcaw_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{EH}{a-b}$
而由$\frac{mzkxjkp_{1}}{uqd11jk_{2}}$=$\frac{1}{2}$，得$\frac{iy6xbsx_{1}}{eb4gf5b_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$，
代入上式，則$\frac{1}{3}$=$\frac{EH}{a-b}$．
解得EH=$\frac{1}{3}$（a-b）
∴EF=EH+HF=b+$\frac{1}{3}$（a-b）=$\frac{a+2b}{3}$
[類比發(fā)現(xiàn)]
沿用上述圖形和已知條件，請(qǐng)自主完成進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)：
當(dāng)$\frac{0i50r0w_{1}}{it1ygo0_{2}}$=$\frac{2}{1}$時(shí)，EF=$\frac{2a+b}{3}$；
當(dāng)$\frac{06e6ggl_{1}}{wo7jybf_{2}}$=$\frac{3}{1}$時(shí)，EF=$\frac{3a+b}{4}$；
當(dāng)$\frac{hvemsqv_{1}}{mzgohso_{2}}$=$\frac{1}{n}$時(shí)，EF=$\frac{a+nb}{n+1}$；
當(dāng)$\frac{1d1cncc_{1}}{cuyqaiw_{2}}$=$\frac{m}{1}$時(shí)，EF=$\frac{ma+b}{m+1}$．（其中m、n均為正整數(shù)，下同）
[推廣證明]
當(dāng)$\frac{5lysmic_{1}}{swsrcvc_{2}}$=$\frac{m}{n}$時(shí)，EF=$\frac{ma+nb}{m+n}$；
請(qǐng)證明你的結(jié)論．
[實(shí)際應(yīng)用]
請(qǐng)結(jié)合所給情景，創(chuàng)設(shè)一個(gè)需要采用下面的全部信息求解的問題．
[情景]
如圖2，有一塊四邊形耕地ABCD，AD∥BC，AD=100米，BC=300米，AB=500米，在AB上取點(diǎn)E，使AE=200米，以點(diǎn)E處為起點(diǎn)開挖平行于兩底的水渠EF，與CD邊相交于點(diǎn)F．
[問題]
水渠EF的長(zhǎng)為多少米？（提問即可，不必求解）

Answer 1

分析 作DG∥BC，交AB于G，交EF于點(diǎn)H，作DM⊥AB于點(diǎn)M，交EF于點(diǎn)N，則有HF=GB=CD=b，AG=AB-CD=a-b．易證，△DEH∽△DAG，可得$\frac{DN}{DM}$=$\frac{EH}{AG}$，即$\frac{oe0c0gq_{1}}{xkskqcj_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{EH}{a-b}$，然后根據(jù)$\frac{6gfe5nc_{1}}{s4t7w9c_{2}}$的值求出$\frac{o5u2mfu_{1}}{o1f2ayk_{1}{+d}_{2}}$的值，從而求出EH，進(jìn)而可求出EF（即EH+HF）的值．由于在求EF的值時(shí)用到AD、BC、AE、BE（AB-AE），因而可提出“水渠EF的長(zhǎng)為多少米？”這個(gè)問題．

解答 解：[類比發(fā)現(xiàn)]作DG∥BC，交AB于G，交EF于點(diǎn)H，作DM⊥AB于點(diǎn)M，交EF于點(diǎn)N．
顯然HF=GB=CD=b，AG=AB-CD=a-b．
易證，△DEH∽△DAG，可得$\frac{DN}{DM}$=$\frac{EH}{AG}$，
即$\frac{fc6mnet_{1}}{6a4k46g_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{EH}{a-b}$，
而由$\frac{56p6ljm_{1}}{p0zd9cm_{2}}$=$\frac{2}{1}$，得$\frac{medj6c1_{1}}{q92ltrk_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{2}{2+1}$=$\frac{2}{3}$，
代入$\frac{1aosc4a_{1}}{oxazfwu_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{EH}{a-b}$，得$\frac{2}{3}$=$\frac{EH}{a-b}$．
解得：EH=$\frac{2}{3}$（a-b），
∴EF=EH+HF=$\frac{2}{3}$（a-b）+b=$\frac{2a+b}{3}$．
同理：當(dāng)$\frac{viaw4nl_{1}}{zaeqlc5_{2}}$=$\frac{3}{1}$時(shí)，EF=$\frac{3a+b}{4}$；
當(dāng)$\frac{5hkc0i0_{1}}{4fwhkzs_{2}}$=$\frac{1}{n}$時(shí)，EF=$\frac{a+nb}{n+1}$；
當(dāng)$\frac{jicz6se_{1}}{qwjdem6_{2}}$=$\frac{m}{1}$時(shí)，EF=$\frac{ma+b}{m+1}$；
故答案分別為：$\frac{2a+b}{3}$、$\frac{3a+b}{4}$、$\frac{a+nb}{n+1}$、$\frac{ma+b}{m+1}$；

[推廣證明]當(dāng)$\frac{9symn6s_{1}}{lyzdawg_{2}}$=$\frac{m}{n}$時(shí)，EF=$\frac{ma+nb}{m+n}$．
證明：作DG∥BC，交AB于G，交EF于點(diǎn)H，作DM⊥AB于點(diǎn)M，交EF于點(diǎn)N．
則有HF=GB=CD=b，AG=AB-CD=a-b．
易證，△DEH∽△DAG，可得$\frac{DN}{DM}$=$\frac{EH}{AG}$，
即$\frac{osiymyu_{1}}{ucwh00h_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{EH}{a-b}$，
而由$\frac{amzaux5_{1}}{ntshx64_{2}}$=$\frac{m}{n}$，得$\frac{khdiwil_{1}}{uyikqa6_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{m}{m+n}$，
代入$\frac{acfxrgg_{1}}{u9ustw5_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{EH}{a-b}$，得$\frac{m}{m+n}$=$\frac{EH}{a-b}$．
解得：EH=$\frac{m}{m+n}$（a-b），
∴EF=EH+HF=$\frac{m}{m+n}$（a-b）+b=$\frac{ma+nb}{m+n}$．
故答案為：$\frac{ma+nb}{m+n}$；

[問題]水渠EF的長(zhǎng)為多少米？
故答案為：水渠EF的長(zhǎng)為多少米？．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，突出了對(duì)提出問題的能力以及運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)解決問題的能力的考查，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．