Question

12．已知Rt△ABC中，AB=10，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D是Rt△ABC的外接圓上一點(diǎn)，且AD=8，則線段CD的長為$\sqrt{2}$或7$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分兩種情況：
①當(dāng)C與D在直徑AB的兩側(cè)時(shí)，如圖1，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理分別計(jì)算CE和DE的長，并相加得CD的長為7$\sqrt{2}$；
②當(dāng)D與C在直徑AB的同側(cè)時(shí)，如圖2，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理列方程求出CD的長．

解答 解：分兩種情況：
①當(dāng)C與D在直徑AB的兩側(cè)時(shí)，如圖1，
過B作BE⊥CD于E，連接BD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AB=10，
∴BC=$\frac{10}{\sqrt{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AD=8，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵∠CDB=∠CAB=45°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴BE=ED=$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
由勾股定理得：CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-（3\sqrt{2}）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴CD=CE+ED=7$\sqrt{2}$，
②當(dāng)D與C在直徑AB的同側(cè)時(shí)，如圖2，
過C作CE⊥AD于E，
則∠CDA=∠CBA=45°，
設(shè)DE=CE=x，則AE=8-x，CD=$\sqrt{2}$x，
由勾股定理得：AC²=AE²+CE²，
（5$\sqrt{2}$）²=x²+（8-x）²，
解得：x=1或7，
當(dāng)x=1時(shí)，CD=$\sqrt{2}$，
當(dāng)x=7時(shí)，CD=7$\sqrt{2}$（舍），
綜上所述，CD=$\sqrt{2}$或7$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$或7$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是直角三角形的外接圓，考查了直角三角形外接圓的性質(zhì)和圓周角定理，恰當(dāng)?shù)刈鞔咕�段，構(gòu)建等腰直角三角形是關(guān)鍵，利用勾股定理列等式或方程求解此題．