Question

9．如圖1，點(diǎn)E為正方向ABCD的邊BC上任意一點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿著AE折疊得到△AEG，延長EG交CD于點(diǎn)F，連接AF．
（1）求證：AF平分∠GAD；
（2）若BE=4，DF=6，求AG的長；
（3）如圖2，連接BD，分別交AE，AF于點(diǎn)M，N，求證：BM²+DN²=MN²．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=AB，∠B=∠D=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AG=AB，∠AGE=∠B=90°，證得AD=AG，推出R_t△AGF≌R_t△ADF，即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)AG=AB=BC=t，則CE=t-4，CF=t-6，根據(jù)勾股定理得到結(jié)果；
（3）如圖，由于∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=90°，得到∠MAN=45°，將△ABM繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB′M′，得到點(diǎn)B′與點(diǎn)D重合，通過△MAN≌△M′AN，得到NM=NM′根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠B=∠D=90°，
∵將△ABE沿著AE折疊得到△AEG，
∴AG=AB，∠AGE=∠B=90°，
∴AD=AG，
在R_t△AGF與R_t△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴R_t△AGF≌R_t△ADF，
∴∠GAF=∠DAF，
∴AF平分∠GAD；

（2）解：設(shè)AG=AB=BC=t，則CE=t-4，CF=t-6，
在R_t△CEF中，CE²+CF²=EF²，即（t-4）²+（t-6）²=100，
解得：t=2（不合題意，舍去），t=10，
∴AG=10；

（3）證明：如圖，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠MAN=45°，將△ABM繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB′M′，
∴點(diǎn)B′與點(diǎn)D重合，
∴∠NAM′=∠2+∠5=∠2+∠3=∠1+∠4=45°，
在△MAN與△M′AN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AM′}\\{∠MAN=∠M′AN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△MAN≌△M′AN，
∴NM=NM′，
∵∠M′DN=∠7+∠8=∠6+∠7=90°，
∴MN²=M′N²=DM′²+DN²=BM²+DN²．

點(diǎn)評 本題考查了翻折變換-折疊問題，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．