Question

16．如圖，在正方形ABCD外側(cè)，以CD為一邊作等邊三角形CDE，連接AE，BE
（1）求證：AE=BE；
（2）已知BE=10，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由正方形和等邊三角形的性質(zhì)得出AD=ED，BC=CE，∠ADE=150°，∠BCE=150°，得出∠DAE=∠CBE=15°，∠BAE=∠ABE=75°，即可證出AE=BE；
（2）作AF⊥BE于F，先求出AF、EF、BF，再根據(jù)勾股定理求出AB²，即可得出△ABC的面積．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°．
∵△DCE是等邊三角形，
∴CD=DE=CE，∠CDE=∠DCE=60°．
∴AD=ED，BC=CE，∠ADE=150°，∠BCE=150°．
∴∠DAE=∠CBE=15°，
∴∠BAE=∠ABE=75°，
∴AE=BE；
（2）解：作AH⊥BE于H，如圖所示：
由（1）得：∠AEB=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$BE=5，EH=5$\sqrt{3}$，
∴BH=10-5$\sqrt{3}$，
∴AB²=AH²+BH²=5²+（10-5$\sqrt{3}$）²=200-100$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$AB²=100-50$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用；熟練掌握正方形和等邊三角形的性質(zhì)，并能運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．