Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²+（5k+1）x+5k （5k＞1）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在坐標(biāo)平面內(nèi)，AD⊥BC，OD=5，點(diǎn)E在拋物線上，OD⊥OE，OD=OE，
（1）求拋物線解析式；
（2）過點(diǎn)C作直線l∥x軸，x軸上有一個動點(diǎn)F，過F作FM⊥BC、FN⊥直線l，分別交線段BC、直線l于點(diǎn)M、N，設(shè)△CMN的面積為S，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為t，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)F在x軸正半軸時，將∠MFN繞點(diǎn)F順時針旋轉(zhuǎn)30°，角的兩邊分別交射線BC和直線l于點(diǎn)P、Q，當(dāng)PF平分∠BPQ時，求F點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作DF⊥x軸于F，EG⊥y軸于G．首先求出A、B坐標(biāo)，設(shè)DF=AF=a，則OF=a+1，在Rt△DOF中，利用勾股定理求出a，再證明△ODF≌△OEG，
推出EG=DF=3，OG=OF=4，由此即可解決問題．
（2）分兩種情形討論即可①當(dāng)t＞0時，如圖2中，過M作GH⊥x軸于H，交l于G，則GH⊥l，HG=OC=OB=5，②當(dāng)-5＜t＜0時，如圖3中，分別求解即可．
（3）如圖4中，在PB上取一點(diǎn)G，使得PG=PQ，作GH⊥x軸于H，連接FG．由△PFG≌△PFQ，推出GF=QF，∠PFG=∠PFQ，由∠7=∠MFN=45°，推出∠1=∠3=15°，由∠BFM=∠MFN=45°，推出∠1+∠α=45°，推出∠α=30°，再證明BH=OF=GH，求出GH即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作DF⊥x軸于F，EG⊥y軸于G．

∵y=x²+（5k+1）x+5k=（x+5k）（x+1），
令y=O，得（x+5k）（x+1）=0，
解得x=-1或-5k，∵5k＞1，
∴-5k＜-1，
∴A（-1，0），B（-5k，0），OA=1，
令x=0，得y=5k，
∴C（0，5k），
∴OB=OC=5k，
∴∠1=∠3=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠1=∠2=45°，
∵DF⊥AF，
∴DF=AF，DF=AF=a，則OF=a+1，
在Rt△ADF中，∵OD=5，DF=a，OF=a+1，
∴a²+（a+1）²=25，
∴a=3或-4（舍棄），
∴DF=3，OF=4，
∵OD⊥OE，OD=OE=5，
∵∠4+∠5=90°，∠5+∠6=90°，
∴∠4=∠5，∵∠DFO=∠EGO=90°，
∴△ODF≌△OEG，
∴EG=DF=3，OG=OF=4，
∴E（-3，-4），
∵E（-3，-4）在拋物線上，
∴（-3）²-3（5k+1）+5k=-4，
∴k=1，
∴拋物線的解析式為y=x²+6x+5．

（2）如圖2中，當(dāng)t=5時，點(diǎn)M、F、B為同一點(diǎn)，
當(dāng)t=0時，點(diǎn)N與C重合，
當(dāng)t=5時，點(diǎn)M與C重合，此三種時刻都不能構(gòu)成三角形，
∴t≠-5且t≠0且t≠5．
①當(dāng)t＞0時，如圖2中，過M作GH⊥x軸于H，交l于G，則GH⊥l，HG=OC=OB=5，

∵FM⊥BC，∠1=45°，
∴∠2=∠1=45°，
∴MB=MF，
∴MH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$（t+5），
∴MG=5-MH=$\frac{1}{2}$（5-t），
∵CN=OF，OF=t，
∴CN=t，
∴S=$\frac{1}{2}$•CN•GM=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{1}{2}$（5-t）=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{5}{4}$t．（0＜t＜5）．

②當(dāng)-5＜t＜0時，如圖3中，

此時CN=OF=-t，MG=$\frac{1}{2}$（5-t），
∴S=$\frac{1}{2}$CN•MG=$\frac{1}{4}$t²-$\frac{5}{4}$t，
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}{t}^{2}+\frac{5}{4}t}&{（0＜t＜5）}\\{\frac{1}{4}{t}^{2}-\frac{5}{4}t}&{（-5＜t＜0）}\end{array}\right.$．

（3）如圖4中，在PB上取一點(diǎn)G，使得PG=PQ，作GH⊥x軸于H，連接FG．

由題意∠2=∠4=30°，∠8=∠9，∵PF=PF，
∴△PFG≌△PFQ，
∴GF=QF，∠PFG=∠PFQ，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
∵FM⊥BC，F(xiàn)N⊥CQ，
∴∠7=∠MFN=45°，
∴∠1=∠3=15°，
∵∠BFM=∠MFN=45°，
∴∠1+∠α=45°，
∴∠α=30°，
∵FG=FQ，∠FHG=∠FNQ，∠α=∠4，
∴△FGH≌△FQN，
∴HF=FN=OF+OH=OB=OH+BH=5，
∴OF=HB，∵α=30°，在Rt△FGH中，F(xiàn)H=$\sqrt{3}$GH=5，
∴GH=$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$，
∵∠5=45°，
∴∠5=∠HGB=45°，
∴OF=BH=GH=$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，題目條件比較多，有點(diǎn)難度，屬于中考壓軸題．