Question

11．如圖1，關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x²+bx+c經(jīng)過點A（-3，0），點C（0，3），點D為二次函數(shù)的頂點，DE為二次函數(shù)的對稱軸，E在x軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）DE上是否存在點P到AD的距離與到x軸的距離相等？若存在求出點P，若不存在請說明理由；
（3）如圖2，F(xiàn)（3，0）為x軸上一點，直線l經(jīng)過點F，在l上存在點M，使以AB為斜邊的Rt△AMB只有一個，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）把A（-3，0），點C（0，3）代入y=-x²+bx+c解方程組即可．
（2）存在．如圖1中，作PM⊥AD于M，設(shè)PM=PE=x，在Rt△PDM中，∵DM²+PM²=PD²，列出方程即可解決問題．
（3）如圖3中，設(shè)AB為直徑的⊙E交y軸于M、M′．連接EM，F(xiàn)M，F(xiàn)M′，AM，BM．首先證明直線FM、FM′就是滿足條件的直線l，利用待定系數(shù)法即可解決問題．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c經(jīng)過點A（-3，0），點C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．

（2）存在．
理由：如圖1中，作PM⊥AD于M，設(shè)PM=PE=x，

∵AM=$\sqrt{A{P}^{2}-P{M}^{2}}$，AE=$\sqrt{A{P}^{2}-P{E}^{2}}$，
∴AM=AE=2，
∵AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴DM=2$\sqrt{5}$-2，
在Rt△PDM中，∵DM²+PM²=PD²，
∴（2$\sqrt{5}$-2）²+x²=（4-x）²，
∴x=$\sqrt{5}$-1，
∴點P坐標(biāo)（-1，$\sqrt{5}$-1）．

（3）如圖3中，設(shè)AB為直徑的⊙E交y軸于M、M′．連接EM，F(xiàn)M，F(xiàn)M′，AM，BM．

∵EM=2，OE=1，
∴OM=$\sqrt{E{M}^{2}-E{O}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴FM=$\sqrt{O{M}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵EM²+FM²=2²+（2$\sqrt{3}$）²=16，EF²=4²=16，
∴EF²=EM²+FM²，
∴∠EMF=90°，
∴FM是⊙E的切線，
∵AB是直徑，
∴∠AMB=90°，
∴△ABM是直角三角形，
又直線FM與⊙E相切，
∴直線AM上存在點M，使以AB為斜邊的Rt△AMB只有一個，同理直線FM′也是滿足條件的直線l，
∴滿足條件的直線l為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、勾股定理、圓、切線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會用方程的思想思考問題，第三個問題想到直徑所對的圓周角是直角解決問題，屬于中考壓軸題．