Question

4．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC．
（1）作線段AD的垂直平分線EF交AB邊于點(diǎn)E，交AC邊于點(diǎn)F；
（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）若BD=3，CD=2，AF=4，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)中垂線的尺規(guī)作圖可得；
（2）先利用中垂線的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)證四邊形AEDF是菱形，再證△BED∽△DFC得$\frac{BE}{DF}=\frac{BD}{CD}$，即可得出答案．

解答 解：（1）如圖，直線EF即為所求；


（2）由（1）知EF垂直平分AD，
∴EA=ED、FA=FD，∠AOE=∠AOF=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AEO和△AFO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FAO}\\{AO=AO}\\{∠AOE=∠AOF}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴AE=AF，
則AE=DE=AF=DF，
∴四邊形AEDF是菱形，
∴DE=DF=AF=4，DE∥AC、DF∥AB，
∴∠FDC=∠B，∠DFC=∠BAC=∠BED，
∴△BED∽△DFC，
∴$\frac{BE}{DF}=\frac{BD}{CD}$，即$\frac{BE}{4}$=$\frac{3}{2}$，
則BE=6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查作圖-基本作圖，熟練掌握中垂線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及菱形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．