Question

13．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，沿邊AB，CB向終點(diǎn)B移動(dòng)．其中點(diǎn)P，Q的速度分別為2cm/s，1cm/s，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)．設(shè)P，Q兩點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間為x s．
（1）用含x的代數(shù)式表示BQ、BP的長度，并求x的取值范圍．
（2）設(shè)四邊形APQC的面積為y（cm²），求y與x的函數(shù)關(guān)系式？
（3）是否存在這樣的x，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的$\frac{2}{3}$？如果存在，求出x的值；不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先運(yùn)用勾股定理求出AB邊的長度，然后根據(jù)路程=速度×?xí)r間，分別表示出BQ、PB的長度；
（2）利用y=S_{四邊形APQC}=S_△ABC-S_PBQ求解即可；
（3）根據(jù)四邊形APQC的面積=△ABC的面積-△PBQ的面積，列出方程，根據(jù)解的情況即可判斷．

解答 解：（1）∵∠B=90°，AC=10，BC=6，
∴AB=8．
∴BQ=6-x，PB=8-2x；

（2）由題意，得
y=S_{四邊形APQC}=S_△ABC-S_PBQ
=$\frac{1}{2}$AB•BC-$\frac{1}{2}$PB•QB
=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$（6-x）（8-2x）
=24-（x²-10x+24）
=-x²+10x；

（3）假設(shè)存在x的值，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的$\frac{2}{3}$，
則-x²+10x=$\frac{1}{2}$×6×8×$\frac{2}{3}$，
解得x₁=2，x₂=8（舍去）．
假設(shè)成立，所以當(dāng)x=8時(shí)，四邊形APQC的面積是△ABC面積的$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題借助動(dòng)點(diǎn)問題考查了勾股定理，路程與速度、時(shí)間的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)以及不規(guī)則圖形的面積計(jì)算，綜合性較強(qiáng)．