Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的直徑2$\sqrt{3}$，直線AB的函數(shù)解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，交坐標(biāo)軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B，將線段AB作平移變換，使所得的線段的兩端都落在⊙O上，則平移后A點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)（$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{6}}{2}$）或（$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{6}}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件先計(jì)算圖1中的直角△AOB的三邊長(zhǎng)，得∠BOA=30°；根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)，同位角相等，可以得不管直線AB向上或向下平移與x軸夾角都是30°，分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)直線AB向下平移時(shí)，如圖2，作輔助線，構(gòu)建直角三角形及平移后的點(diǎn)A′與兩坐標(biāo)軸的垂線，由30°角的性質(zhì)和三角函數(shù)求
出A′Q和OQ的長(zhǎng)，寫出點(diǎn)A′的坐標(biāo)即可；②同理在圖3中求出A′的坐標(biāo)．

解答 解：如圖1，當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，
則B（0，-1），
當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1=0，x=$\sqrt{3}$，
則A（$\sqrt{3}$，0），
Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=2，
∴∠BAO=30°
分兩種情況：
①當(dāng)直線AB向下平移時(shí)，如圖2，
由平移得：∠B′NO=30，
過(guò)O作OM⊥A′B′于M，連接OB′、OA′，過(guò)A作AQ⊥x軸于Q，
∵OB′=OA′=OA=$\sqrt{3}$，A′B′=AB=2，
∴A′M=B′M=1，
∴OM=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
Rt△OMN中，ON=2OM=2$\sqrt{2}$，
∴MN=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴A′N=ON-OA′=$\sqrt{6}$-1，
∴AQ=$\frac{1}{2}$A′N=$\frac{\sqrt{6}-1}{2}$，
cos30°=$\frac{QN}{A′N}$，
∴QN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\sqrt{6}$-1）=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$，
∴OQ=ON-QN=2$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$，
∴A′（$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{6}}{2}$）；
②當(dāng)直線AB向上平移時(shí)，如圖3，
同理得A′（$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{6}}{2}$）
則平移后A點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{6}}{2}$）或（$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{6}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形變換--平移，明確平移前后的兩線段相等且平行，本題根據(jù)已知直線的解析式求出線段的長(zhǎng)，得出30°角是關(guān)鍵，采用了分類討論的思想，分別向上平移和向下平移；構(gòu)建對(duì)應(yīng)的直角三角形，與特殊的三角函數(shù)、勾股定理相結(jié)合得出結(jié)論．