Question

10．如圖，⊙O的直徑AB=8，點(diǎn)E在圓外，AE交⊙O于點(diǎn)F，C是圓心上一點(diǎn)，CD⊥AE于點(diǎn)D，AF=2CD=4$\sqrt{2}$．
（1）求BF的長(zhǎng)；
（2）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理得出∠AFD=90°，然后根據(jù)勾股定理即可求得；
（2）連接OC，作OG⊥AE于G，根據(jù)垂徑定理得出OG垂直平分AF，進(jìn)而根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得出OG=$\frac{1}{2}$BF，即BF=2OG，從而得出OG=CD，根據(jù)OG⊥AE，CD⊥AE，得出OG∥CD，從而證得四邊形OGDC是矩形，得出OC⊥DC，即可證得結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB是直徑，
∴∠AFD=90°，
∴BF=$\sqrt{A{B}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-（4\sqrt{2}）^{2}}$=4$\sqrt{2}$；
（2）連接OC，作OG⊥AE于G，
∴OG垂直平分AF，
∵OA=OB，
∴OG=$\frac{1}{2}$BF，
∴BF=2OG，
∵BF=AF=2CD=4$\sqrt{2}$，
∴OG=CD，
∵OG⊥AE，CD⊥AE，
∴OG∥CD，
∴四邊形OGDC是矩形，
∴OC⊥DC，
∴CD是⊙O的切線(xiàn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理，垂徑定理，正方形的判定和性質(zhì)，切線(xiàn)的判定，作出輔助線(xiàn)證得四邊形OEDC是矩形是解題的關(guān)鍵．