Question

1．如圖，已知⊙O的直徑AB=6，弦CD⊥AB于H，⊙O′分別切⊙O、AB、CD于點E、F、G，則當(dāng)⊙O′的半徑取得最大值時，邊BC的長度是（　�。�

• A． 3.5
• B． 3
• C． 2.5
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)⊙O′的半徑為r，BC=x，可證明BC²=BH•BA，連接O′F，在Rt△OO′F中由勾股定理可得到r關(guān)于x的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得BC的長．

解答 解：設(shè)⊙O′的半徑為r，BC=x，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠C=90°，
又AB⊥CD，
∴BC²=BH•BA=6（BF-FH）=6（BF-r），
如圖，連接O′F，OO′，
∵AB為⊙O′的切線，
∴△OO′F為直角三角形，
∴O′O²-O′F²=OF²，
∴（3-r）²-r²=（BF-3）²，
∴BF²=6（BF-r），
∴BC=BF，
∴BC²=6（BC-r），即x²=6（x-r），
∴r=-$\frac{1}{6}$x²+x=-$\frac{1}{6}$（x-3）²+$\frac{3}{2}$，
∴當(dāng)x=3時，⊙O′的半徑取得最大值，
即BC的長為3，
故選B．

點評 本題主要考查切線的性質(zhì)及圓與圓的位置關(guān)系、直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用．由條件證明BC=BF，從而找到BC與⊙O′的半徑的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．注意方程思想的應(yīng)用．