Question

【題目】我們把兩條中線(xiàn)互相垂直的三角形稱(chēng)為“中垂三角形”. 如圖1，圖2，圖3中，是的中線(xiàn)，，垂足為點(diǎn)，像這樣的三角形均為“中垂三角形. 設(shè).

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，則_________，__________；

（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，則_________，__________；

歸納證明

（3）請(qǐng)觀察（1）（2）中的計(jì)算結(jié)果，猜想三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式；

拓展應(yīng)用

（4）如圖4，在中，分別是的中點(diǎn)，且. 若，，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1） ，；（2），；（3），證明見(jiàn)解析；（4）

【解析】

（1）根據(jù)三角形的中位線(xiàn)得出；，進(jìn)而得到計(jì)算即可得出答案；

（2）連接EF，中位線(xiàn)的性質(zhì)以及求出AP、BP、EP和FP的長(zhǎng)度再根據(jù)勾股定理求出AE和BF的長(zhǎng)度即可得出答案；

（3）連接EF，根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出AE與AP和EP的關(guān)系以及BF與BP和FP的關(guān)系，即可得出答案；

（4）取的中點(diǎn)，連接，結(jié)合題目求出四邊形是平行四邊形得出AP＝FP即可得到是“中垂三角形”，根據(jù)第三問(wèn)得出的結(jié)論代入，即可得出答案(連接，交于點(diǎn)，證明求得是的中線(xiàn)，進(jìn)而得出是“中垂三角形”，再結(jié)合第三問(wèn)得出的結(jié)論計(jì)算即可得出答案).

解：（1）∵是的中線(xiàn)，∴是的中位線(xiàn)，

∴，且，易得.

∵，

∴，∴.

由勾股定理，得，

∴.

（2）如圖2，連結(jié).

∵是的中線(xiàn)，

∴是的中位線(xiàn)，

∴，且，易得.

. ∵，

∴，

∴.

由勾股定理，得，

∴.

（3）之間的關(guān)系是.

證明如下：如圖3，連結(jié).

∵是的中線(xiàn)，

∴是的中位線(xiàn).

∴，且，

易得.

在和中，

∵，，

∴.

∴.

∴，

即.

（4）解法1：設(shè)的交點(diǎn)為. 如圖4，取的中點(diǎn)，連接.

∵分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，

∴.

又∵，

∴.

∵四邊形是平行四邊形，

∴，

∴，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∴是“中垂三角形”，

∴，即，

解得.

（另：連接，交于點(diǎn)，易得是“中垂三角形”，解法類(lèi)似于解法1，如圖5）

解法2：如圖6，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn).

在中，∵分別是的中點(diǎn)，

∴.

∵，

∴.

又∵四邊形為平行四邊形，

∴，

易得，

∴，

∴，

∴是的中線(xiàn)，

∴是“中垂三角形”，

∴.

∵，

∴.

∴，

解得.

∵是的中位線(xiàn)，

∴.