Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，已知點(diǎn)A（0，1），以O(shè)A為邊在右側(cè)作等邊三角形OAA₁，再過點(diǎn)A₁作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)O₁，以O(shè)₁A₁為邊在右側(cè)作等邊三角形O₁A₁A₂；…按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得到等邊三角形O₂₀₁₆A₂₀₁₆A₂₀₁₇，則點(diǎn)A₂₀₁₇的縱坐標(biāo)為（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁷
• B． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁶
• C． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁵
• D． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁴

Answer 1

分析 根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出O₁A₁=$\frac{1}{2}$OA₁=$\frac{1}{2}$，O₂A₂=$\frac{1}{2}$O₁A₂=（$\frac{1}{2}$）²，O₃A₃=$\frac{1}{2}$O₂A₃=（$\frac{1}{2}$）³，即點(diǎn)A₁的縱坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$；點(diǎn)A₂的縱坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$）²，點(diǎn)A₃的縱坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$）³，以此類推，從中得出規(guī)律，即可求出答案．

解答 解：∵三角形OAA₁是等邊三角形，
∴OA₁=OA=1，∠AOA₁=60°，
∴∠O₁OA₁=30°．
在直角△O₁OA₁中，∵∠OO₁A₁=90°，∠O₁OA₁=30°，
∴O₁A₁=$\frac{1}{2}$OA₁=$\frac{1}{2}$，即點(diǎn)A₁的縱坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$；
同理，O₂A₂=$\frac{1}{2}$O₁A₂=（$\frac{1}{2}$）²，O₃A₃=$\frac{1}{2}$O₂A₃=（$\frac{1}{2}$）³，
即點(diǎn)A₂的縱坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$）²，
點(diǎn)A₃的縱坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$）³，
…
∴點(diǎn)A₂₀₁₇的縱坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁷．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，等邊三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是通過認(rèn)真分析，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律．