Question

9．某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對(duì)函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過(guò)程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整：
（1）自變量x的取值范圍是x≠0；
（2）如表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)值：

x

…

-3

-2

-1

-$\frac{1}{2}$

-$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$

1

2

3

…

y

…

-$\frac{10}{3}$

-$\frac{5}{2}$

-2

-$\frac{5}{2}$

-$\frac{10}{3}$

$\frac{10}{3}$

$\frac{5}{2}$

2

$\frac{5}{2}$

$\frac{10}{3}$

…

在平面直角坐標(biāo)系中，描出了以表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象；
（3）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：該函數(shù)在第一象限內(nèi)的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，2），觀察函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的另一條性質(zhì)x＞1時(shí)，y隨x增大而增大；0＜x＜1時(shí)，y隨x增大而減��；
（4）請(qǐng)你利用配方法證明：當(dāng)x＞0時(shí)，y=x+$\frac{1}{x}$的最小值為2．（提示：當(dāng)x＞0時(shí)x=（$\sqrt{x}$）²，$\frac{1}{x}$=（$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²）

Answer 1

分析 （1）由分母不能為零，即可得出自變量x的取值范圍；
（2）描點(diǎn)、連線，畫出函數(shù)圖象即可；
（3）觀察函數(shù)圖象，找出該函數(shù)的另一條性質(zhì)即可；
（4）由x=（$\sqrt{x}$）²、$\frac{1}{x}$=（$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²、$\sqrt{x}$•$\frac{1}{\sqrt{x}}$=1，利用配方法即可得出x+$\frac{1}{x}$=（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²+2≥2，由此即可得出：當(dāng)x＞0時(shí)，y=x+$\frac{1}{x}$的最小值為2．

解答 解：（1）∵x在分母上，
∴自變量x的取值范圍是x≠0．
故答案為：x≠0．
（2）畫出函數(shù)圖象，如圖所示．
（3）x＞1時(shí)，y隨x增大而增大；0＜x＜1時(shí)，y隨x增大而減�。�
故答案為：x＞1時(shí)，y隨x增大而增大；0＜x＜1時(shí)，y隨x增大而減�。�
（4）∵當(dāng)x＞0時(shí)，x=（$\sqrt{x}$）²，$\frac{1}{x}$=（$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²，且$\sqrt{x}$•$\frac{1}{\sqrt{x}}$=1，
∴x+$\frac{1}{x}$=（$\sqrt{x}$）²+（$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²=（$\sqrt{x}$）²-2+（$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²+2=（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²+2，
∵（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²≥0，
∴（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²+2≥2，
∴x+$\frac{1}{x}$≥2，即當(dāng)x＞0時(shí)，y=x+$\frac{1}{x}$的最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、配方法的應(yīng)用以及反比例函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是：（1）由分母不能為零，找出自變量x的取值范圍；（2）描點(diǎn)．連線，畫出函數(shù)圖象；（3）觀察函數(shù)圖象，找出函數(shù)的性質(zhì)；（4）利用配方法找出x+$\frac{1}{x}$=（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²+2≥2．