Question

20．已知：拋物線y=x²+（2m-1）x+m²-1經(jīng)過坐標(biāo)原點，且當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減�。�
（1）求拋物線的解析式，并寫出y＜0時，對應(yīng)x的取值范圍；
（2）設(shè)點A是該拋物線上位于x軸下方的一個動點，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于點B，DC⊥x軸于點C．
①當(dāng)BC=1時，直接寫出矩形ABCD的周長；
②設(shè)動點A的坐標(biāo)為（a，b），將矩形ABCD的周長L表示為a的函數(shù)并寫出自變量的取值范圍，判斷周長是否存在最大值？如果存在，求出這個最大值，并求出此時點A的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的增減性，可得符合條件的函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)與不等式的關(guān)系，可得答案；
（2）①根據(jù)BC關(guān)于對稱軸對稱，可得A點的縱坐標(biāo)，根據(jù)矩形的周長公式，可得答案；
②分類討論A在對稱軸左側(cè)，A在對稱軸右側(cè)，根據(jù)對稱，可得BC的長，AB的長，根據(jù)周長公式，可得函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的增減性，可得答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+（2m-1）x+m²-1經(jīng)過坐標(biāo)原點（0，0），
∴m²-1=0，
∴m=±1
∴y=x²+x或y=x²-3x，
∵當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小，
∴y=x²-3x，由函數(shù)與不等式的關(guān)系，得y＜0時，0＜x＜3；
（2）①如圖1，
當(dāng)BC=1時，由拋物線的對稱性，得點A的縱坐標(biāo)為-2，
∴矩形的周長為6；
②∵A的坐標(biāo)為（a，b），
∴當(dāng)點A在對稱軸左側(cè)時，如圖2，
矩形ABCD的一邊BC=3-2a，另一邊AB=3a-a²，
周長L=-2a²+2a+6．其中0＜a＜$\frac{3}{2}$，當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，L_最大=$\frac{13}{2}$，A點坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$），

當(dāng)點A在對稱軸右側(cè)時如圖3，
矩形的一邊BC=3-（6-2a）=2a-3，另一邊AB=3a-a²，
周長L=-2a²+10a-6，其中$\frac{3}{2}$＜a＜3，當(dāng)a=$\frac{5}{2}$時，L_最大=$\frac{13}{2}$，A點坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{4}$）；
綜上所述：當(dāng)0＜a＜$\frac{3}{2}$時，L=-2（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{13}{2}$，
∴當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，L_最大=$\frac{13}{2}$，A點坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$），
當(dāng)$\frac{3}{2}$＜a＜3時，L=-2（a-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{13}{2}$，
∴當(dāng)a=$\frac{5}{2}$時，L_最大=$\frac{13}{2}$，A點坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用函數(shù)的增減性舍去不符合題意的函數(shù)解析式；（2）利用對稱性得出BC的長，利用矩形的周長公式得出二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出答案，分類討論是解題關(guān)鍵，以防遺漏．