Question

19．如圖，正比例函數(shù)y=2x和反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象交于A、B兩點，過點A作平行于x軸的直線交y軸正半軸于C，△AOC的面積是4．
（1）k的值為8，A點坐標(biāo)為（2，4）；
（2）不等式$2x-\frac{k}{x}＞0$的解集為0＞x＞-2或x＞2；
（3）P是x軸正半軸上的一點，Q是直線AC上的一點，若以A、O、P、Q為頂點的四邊形是菱形，求P點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由AC∥x軸，△AOC的面積是4可得|k|=2×4=8，由圖象在一、三象限，即可求得k的值；由點A是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，故將兩個函數(shù)解析式聯(lián)立為方程組，解出即可求得坐標(biāo)；（2）將不等式變形為2x＞$\frac{k}{x}$，再由A點的坐標(biāo)，求得B點的坐標(biāo)，利用圖象及A、B兩點的橫坐標(biāo)即可得到解集；（3）分兩種情況①AO為菱形的邊，點Q在點A的右側(cè)，求得線段OA的長度，即可得到線段OP的長度，即可得到坐標(biāo)；②AO為菱形的對角線，則點P在點A的左側(cè)，過點A作x軸的垂線，垂足為點D，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，0）在Rt△ADP中利用勾股定理得到關(guān)于x的方程，解出即可得到坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵AC∥x軸，
∴AC⊥y軸，
∵點A在反比例函數(shù)圖象上，△AOC的面積是4，
∴|k|=2×4=8，
∴k=±8，
∵圖象在一、三象限，
∴k=8；
∵正比例函數(shù)y=2x和反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象交于A、B兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∵點A在第一象限，
∴點A的坐標(biāo)為（2，4），
故答案為：8，（2，4）；

（2）把$2x-\frac{k}{x}＞0$變形為2x＞$\frac{k}{x}$，
由（1）可知點A、B的坐標(biāo)分別為（2，4）（-2，-4），
2x＞$\frac{k}{x}$的解集即當(dāng)正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量的取值范圍，
所以由圖象可知：當(dāng)0＞x＞-2或x＞2時，正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，
故$2x-\frac{k}{x}＞0$的解集為0＞x＞-2或x＞2，
故答案為：0＞x＞-2或x＞2；

（3）∵以點A、O、P、Q為頂點的四邊形是菱形，
∴分兩種情況：
①AO為菱形的邊，點Q在點A的右側(cè)，如圖1，
過點A作AD⊥x軸，垂足為點D，
∵點A的坐標(biāo)為（2，4），
∴AO=2$\sqrt{5}$，
∴OP=OA=2$\sqrt{5}$，
∴點P的坐標(biāo)為：（2$\sqrt{5}$，0）；
②如圖2，AO為菱形的對角線，則點P在點A的左側(cè)，
設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x，則線段DP為x-2，AP為x，
在Rt△ADP中，可得x²-（x-2）²=4²，
解得，x=5，
所以點P的坐標(biāo)為：（5，0），
故若以A、O、P、Q為頂點的四邊形是菱形，P點坐標(biāo)為：（2$\sqrt{5}$，0）或（5，0）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，要求學(xué)生能夠熟練運用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式；能夠運用數(shù)形結(jié)合的思想觀察兩個函數(shù)值的大小關(guān)系．