Question

1．如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（3，0），以 M 為圓心，5 為半徑的圓與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn) A，B，C，D．
（1）求證：△AOD∽△COB；
（2）如圖 2，弦DE交x軸于點(diǎn)P，若BP：DP=3：2，求tan∠EDA的值；
（3）如圖 3，過(guò)點(diǎn)D作圓M的切線，交x軸于點(diǎn)Q，點(diǎn)G是圓M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)$\frac{GO}{GQ}$的比值是否隨著G的移動(dòng)而變化？若不變，請(qǐng)求出此值，若變化請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)對(duì)頂角相等得到∠AOD=∠COB，根據(jù)圓周角定理得到∠ADO=∠OBC，則可判斷△AOD∽△COB；
（2）連結(jié)AE、BE、MD，如圖2，先計(jì)算出OD=2，再利用勾股定理計(jì)算出OD=4，AD=2$\sqrt{5}$，接著證明△PBE∽△PDA，利用相似比可計(jì)算出BE=3$\sqrt{5}$，然后根據(jù)勾股可計(jì)算出AE=$\sqrt{55}$，再利用正切的定義得到tan∠ABE=$\frac{\sqrt{11}}{3}$，于是得到tan∠EDA=$\frac{\sqrt{11}}{3}$；
（3）如圖3，連結(jié)MD、MG，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠MDQ=90°，由∠ODM=∠OQD，則可判斷Rt△ODM∽R(shí)t△OQD，利用相似比可計(jì)算出OQ=$\frac{16}{3}$，
討論：當(dāng)G點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，易得$\frac{OG}{QG}=\frac{OA}{AQ}=\frac{3}{5}$；當(dāng)G點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，$\frac{OG}{QG}=\frac{3}{5}$；
當(dāng)G點(diǎn)不與A、B重合時(shí)，先證明△MOD∽△MDQ得到即MD²=MO•MQ，由于MD=MG，則MG²=MO•MQ，加上∠OMG=∠GMQ，則可判斷△MOG∽△MGQ，利用相似比可得$\frac{OG}{QG}=\frac{OM}{MG}=\frac{3}{5}$，于是得到$\frac{GO}{GQ}$的值不變，比值$\frac{3}{5}$．

解答 （1）證明：如圖1，
∵∠AOD=∠COB，∠ADO=∠OBC，
∴△AOD∽△COB；
（2）解：連結(jié)AE、BE、MD，如圖2，
∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），MA=MB=MD=5，
∴OD=2，
在Rt△ODM中，OD=$\sqrt{M{D}^{2}-O{M}^{2}}$=4，
在Rt△OAD中，AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠PEB=∠PAD，∠PBE=∠PDA，
∴△PBE∽△PDA，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{PB}{PD}=\frac{3}{2}$，
∴BE=$\frac{3}{2}$×2$\sqrt{5}$=3$\sqrt{5}$，
在Rt△ABE中，
AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{55}$，
∴tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}=\frac{\sqrt{55}}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{11}}{3}$，
∵∠EDA=∠ABE，
∴tan∠EDA=$\frac{\sqrt{11}}{3}$；
（3）解：$\frac{GO}{QG}$的值不變，比值$\frac{3}{5}$，
理由如下：如圖3，連結(jié)MD、MG，
∵DQ為切線，
∴MD⊥QD，
∴∠MDQ=90°，
∵∠ODM=∠OQD，
∴Rt△ODM∽R(shí)t△OQD，
∴OD：OQ=OM：OD，即4：OQ=3：4，
∴OQ=$\frac{16}{3}$，
當(dāng)G點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，$\frac{OG}{QG}=\frac{OA}{AQ}=\frac{2}{\frac{16}{3}-2}$=$\frac{3}{5}$；
當(dāng)G點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，$\frac{OG}{QG}=\frac{OB}{BQ}=\frac{3}{5}$；
當(dāng)G點(diǎn)不與A、B重合時(shí)，
∵∠OMD=∠DMQ，
∴△MOD∽△MDQ，
∴$\frac{MO}{MD}=\frac{MD}{MQ}$，即MD²=MO•MQ，
而MD=MG，
∴MG²=MO•MQ，
∵∠OMG=∠GMQ，
∴△MOG∽△MGQ，
∴$\frac{OG}{QG}=\frac{OM}{MG}=\frac{3}{5}$，
綜上所述，$\frac{GO}{QG}$的值不變，比值$\frac{3}{5}$，

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判斷和性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)；解答（2）的關(guān)鍵是求出和AE和BE，解答（3）的關(guān)鍵是證明Rt△ODM∽R(shí)t△OQD和△MOD∽△MDQ．