Question

19．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=a（x+3）（x-4）與x軸從左到有依次交于A，B兩點，于y軸的正半軸交于點C，且AB-OC=1．
（1）如圖1，求a的值；
（2）如圖2，點D在y軸的負半軸上，BD=5，點E在第二象限的拋物線上，其橫坐標為t，設△BDE的面積為S求S與t間的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）如圖3，在（2）的條件下，當S=15時，將ED沿直線BE折疊，DE折疊后所在的直線交拋物線于點G，求G點的坐標．

Answer 1

分析 （1）可先求得A、B坐標，再結合條件可求得C點坐標，代入拋物線解析式可求得a的值；
（2）可先求得D點坐標，過E作ET⊥y軸于點T，可設出E點坐標，利用待定系數法可求得直線BE的解析式，從而可求得點F的坐標，則可求得DF，可用t表示出S；
（3）由條件可先求得E、D、F的坐標，可求得直線DE的解析式，設DE交x軸于點K，連接KF，作EM⊥y軸于點H，GM⊥EM于點M，EN∥y軸于點N，可求得K點坐標，結合條件可證明△FOK≌△EHF，從而可求得∠FEK=∠FKE=45°，可得到∠GEM=∠DEN，再利用角的正切值可得到$\frac{GM}{EM}$=$\frac{DN}{EN}$，設出G點坐標，可表示出GM和EM，代入可求得G點坐標．

解答 解：
（1）當y=0時，則有a（x+3）（x-4）=0，
解得x=-3或x=4，
∴A（-3，0），B（4，0），
∴AB=7，由AB-OC=1，
∴OC=6，
∴C（0，6），
代入拋物線解析式可得-12a=6，解得a=-$\frac{1}{2}$；
（2）如圖1，過E作ET⊥y軸于點T，

∵B（4，0），
∴OB=4，
∵BD=5，
∴OD=3，
∴D（0，-3），
∵a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+3）（x-4），
設E點橫坐標為t，則其縱坐標為-$\frac{1}{2}$（t+3）（t-4），
設直線BE解析式為y=kx+b，把B、E坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{kt+b=-\frac{1}{2}（t+3）（t-4）}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}（t+3）}\\{b=2（t+3）}\end{array}\right.$，
∴直線BE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（t+3）x+2（t+3），
令x=0可得y=2（t+3），
∴F（0，2t+6），
∴DF=2t+6-（-3）=2t+9，
∴S=$\frac{1}{2}$（2t+9）（4-t）=-t²-$\frac{1}{2}$t+18，
∵E點在第二象限，
∴t的取值范圍為-3≤t≤0；
（3）由-t²-$\frac{1}{2}$t+18=15可解得t=$\frac{3}{2}$（舍去）或t=-2，
∴E（-2，3），F（0，2），
設直線DE的解析式為y=sx+t，把D、E坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-2t+s=3}\\{s=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{t=-3}\\{s=-3}\end{array}\right.$，
∴直線DE的解析式為y=-3x-3，
如圖2，設DE交x軸于點K，連接KF，作EM⊥y軸于點H，GM⊥EM于點M，EN∥y軸于點N，

則K（-1，0），
∴EH=2=OF，HF=OK=1，且∠FOK=∠EHF=90°，
在△FOK和△EHF中
$\left\{\begin{array}{l}{OF=EH}\\{∠FOK=∠EHF}\\{OK=HF}\end{array}\right.$
∴△FOK≌△EHF（SAS），
∴EF=KF，∠EFH=∠FKO，
∵∠FKO+∠KFO=∠EFH+∠KFO=90°，
∴∠EFK=90°，
∴∠FEK=∠FKE=45°，
∴∠GED=90°，
∵∠MEN=90°，
∴∠GEM+∠MED=∠DEN+∠MED，
∴∠GEM=∠DEN，
∴tan∠GEM=tan∠DEN，
∴$\frac{GM}{EM}$=$\frac{DN}{EN}$，
設G點坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m+6），
則M（m，3），N（-2，-3），
∴GM=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m+6-3=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m+3，EM=m+2，DN=2，EN=6，
∴$\frac{-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{1}{2}m+3}{m+2}$=$\frac{2}{6}$，解得m=-2（舍去）或m=$\frac{7}{3}$，
∴G點坐標為（$\frac{7}{3}$，$\frac{40}{9}$）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及知識點有待定系數法、勾股定理、函數圖象與坐標軸的交點、全等三角形的判定和性質、三角函數的定義等．在（1）中求得C點坐標是解題的關鍵，在（2）中用t表示出F點的坐標是解題的關鍵，在（3）中證得∠GEM=∠DEN是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．