Question

11．如圖，點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），如果分別以點A、B為圓心，以AC的長為半徑作弧相交于點D，那么∠DAB的度數(shù)是36°．

Answer 1

分析 根據(jù)黃金分割的定義得到AC²=BC•AB，而AC=AD=BD，則BD²=BC•AB，根據(jù)相似三角形的判定得△BDC∽△BAD，則∠A=∠BDC，設(shè)∠A=x，則∠B=x，∠BDC=x，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ACD=∠BDC+∠B=2x，所以∠ADC=∠ACD=2x，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到x+2x+x+x=180°，再解方程即可．

解答 解：連接DC，
∵點C是線段AB的一個黃金分割點，
∴AC²=BC•AB，
∵AD=AC=BD，
∴BD²=BC•AB，
即BD：BC=AB：BD，
而∠ABD=∠DBC，
∴△BDC∽△BAD，
∴∠A=∠BDC，
設(shè)∠A=x，則∠B=x，∠BDC=x，
∴∠ACD=∠BDC+∠B=2x，
而AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=2x，
∴x+2x+x+x=180°，解得x=36°，
即∠A=36°．
故答案為：36°．

點評 本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．