Question

12．如圖，在△ABC中，∠ACB=108°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE垂直平分AB交AB于點(diǎn)E．
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）若AC=22，CD=13，DE=12，求△ACD的周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠CAB+∠B=72°，根據(jù)角平分線的定義得到∠DAE=∠CAE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，于是得到∠DAE=∠B，即可得到結(jié)論；
（2）過D作DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF=DE=12，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ACB=108°，
∴∠CAB+∠B=72°，
∵AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，
∴∠DAE=∠CAE，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B，
∴∠CAB=2∠B，
∴∠B=24°，
（2）過D作DF⊥AC于F，
∵AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，
∴DF=DE=12，
∴CF=$\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}$=5，
∴AF=AC+CF=27，
∴AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=3$\sqrt{97}$，
∴△ACD的周長=AD+AC+CD=35+3$\sqrt{97}$．

點(diǎn)評 本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．