Question

7．已知：CP為圓O切線，AB為圓的割線，CP、AB交于P，求證：AP•BP=CP²．

Answer 1

分析 連接AC、BC、CO并延長交圓O于點M，連結(jié)AM．先由切線的性質(zhì)得出OC⊥PC，那么∠ACP+∠ACM=90°，由圓周角定理及直角三角形兩銳角互余得出∠M+∠ACM=90°，根據(jù)同角的余角相等得出∠ACP=∠M，由圓周角定理得出∠M=∠CBP，那么∠ACP=∠CBP，又∠APC=∠CPB，得出△ACP∽△CBP，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得到AP：CP=CP：BP，即AP•BP=CP²．

解答 證明：連接AC、BC、CO并延長交圓O于點M，連結(jié)AM．
∵PC是圓O的切線，
∴OC⊥PC，
∴∠ACP+∠ACM=90°，
又∵CM是直徑，
∴∠M+∠ACM=90°，
∴∠ACP=∠M，
∵∠M=∠CBP，
∴∠ACP=∠CBP，
又∵∠APC=∠CPB（公共角），
∴△ACP∽△CBP，
∴AP：CP=CP：BP，
∴AP•BP=CP²．

點評 本題實際上證明了切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．涉及到的知識點有：切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．準確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．