Question

11．如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，以試猜想CE與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 延長BA、CE相交于點(diǎn)F，利用“角邊角”證明△BCE和△BFE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE=EF，根據(jù)等角的余角相等求出∠ABD=∠ACF，然后利用“角邊角”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BD=CF，然后求解即可．

解答 解：BD=2CE．
理由如下：如圖，延長BA、CE相交于點(diǎn)F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△BCE和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CBD}\\{BE=BE}\\{∠BEF=∠BEC=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE=EF，
∵∠A=90°，CE⊥BD，
∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF，
在△ABD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠ACF}\\{AB=AC}\\{∠BAC=∠CAF=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD=CF，
∵CF=CE+EF=2CE，
∴BD=2CE．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形并得到與BD相等的線段CF．