Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，∠ACB=90°，原點(diǎn)O是斜邊AB的中點(diǎn)，直角邊AC、BC的長(zhǎng)分別是一元二次方程x²-14x+48=0的兩個(gè)根（AC＜BC），將Rt△ABC沿著AE折疊，使點(diǎn)C落在x軸上的點(diǎn)D處．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）求折痕AE所在直線的解析式．
（3）若點(diǎn)P是射線AE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在一點(diǎn)M，使得以P、E、D、M為頂點(diǎn)，DE為底的直角梯形面積為8？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程可求得AC和BC的長(zhǎng)，由勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，再結(jié)合折疊的性質(zhì)可求得OD的長(zhǎng)，則可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）可證明△BED∽△BAC，利用相似三角形的性質(zhì)可求得DE，則可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AE的解析式；
（3）可設(shè)M（x，0），則可表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出PM和DM的長(zhǎng)，由梯形的面積可得到關(guān)于x的方程，可求得x的值，則可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）解方程x²-14x+48=0，可得得x=6或x=8，
∵AC＜BC，
∴AC=6，BC=8．
在Rt△ABC中，AB=10，
∵AD=AC=6，AO=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴OD=AD-AO=1，
∴D（1，0）；

（2）在Rt△BED中，∠EDB=90°，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠EBD=∠ABC，
∴△BED∽△BAC，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{ED}{AC}$．
∴ED=3，
∴E（1，3），
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，
把A、E坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}-5k+b=0\\ k+b=3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ b=\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
∴直線AE的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；

（3）存在．
∵四邊形PEDM是以DE為底的直角梯形，
∴點(diǎn)M在x軸上，且PM⊥x軸，
設(shè)M（x，0）（x＞-5），則P（x，$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$），
∵點(diǎn)P在射線AE上，
∴PM=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，DM=|x-1|，
∵E（1，3），
∴DE=3，
∵S_梯形PEDM=8，
∴$\frac{1}{2}$（DE+PM）•DM=8，即$\frac{1}{2}$（3+$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$）|x-1|=8，整理可得（11+x）|x-1|=32，
當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，則（11+x）（1-x）=32，解得x=-7（舍去）或x=-3，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）；
當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，則（11+x）（x-1）=32，解得x=-5-2$\sqrt{17}$（舍去）或x=-5+2$\sqrt{17}$，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5+2$\sqrt{17}$）；
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（-3，0）或（$2\sqrt{17}-5，0$）．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及一元二次方程的解法、直角三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中求得AD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得E點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中用M的坐標(biāo)表示出梯形的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．