Question

6．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)作等邊△ADE，連接BE交AC于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)H，連結(jié)DF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
①∠CFD=60° 
②S_△BGF=S_△DHF
③△AHE≌△FGB  
④△EDH∽△EFD．

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 ①正確．首先證明∠BFC=∠ABF+∠BAF=15°+45°=60°，再證明△FCB≌△FCD，∠CFD=∠CFB=60°；
②正確．同理可證△AFB≌△AFD，△AFG≌△AFH，推出S_△AFB=S_△AFD，S_△AFG=S_△AFH，推出S_△BFG=S_△DFH；
③錯(cuò)誤．比較BF與AE的大小即可判斷；
④正確．只要證明∠EFD=∠EDH=60°即可；

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=90°，∠BCF=∠DCF=∠BAC=45°，
∵△ADE是等邊三角形，
∴AE=AD=DE=AB，∠DAE=60°，
∴∠BAE=150°，∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=15°，
∴∠CFB=∠FBA+∠BAF=60°，
在△FCB和△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{FC=FC}\\{∠FCB=∠FCD}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△FCB≌△FCD，
∴∠CFD=∠CFB=60°．故①正確，
同理可證△AFB≌△AFD，△AFG≌△AFH，
∴S_△AFB=S_△AFD，S_△AFG=S_△AFH，
∴S_△BFG=S_△DFH，故②正確，
在△BFG中的最長(zhǎng)邊BF，△AHE中的最長(zhǎng)邊為AE，顯然BF＜AE，
∴△AHE與△FGB  不全等，故③錯(cuò)誤，
∵∠AFE=∠BFC=∠CFD=60°，
∴∠DFE=60°=∠EDH，∵∠DEH=∠FED，
∴△EDH∽△EFD，故④正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．