Question

10．如圖，四邊形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點(diǎn)，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求證：
（1）AM⊥DM；
（2）M為BC的中點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAD+∠ADC=180°，根據(jù)角平分線的定義得到∠MAD+∠ADM=90°，根據(jù)垂直的定義得到答案；
（2）作NM⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BM=MN，MN=CM，等量代換得到答案．

解答 解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM=180°，
∴∠MAD+∠ADM=90°，
∴∠AMD=90°，
即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM=MN，MN=CM，
∴BM=CM，
即M為BC的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．