Question

如圖，已知△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，PQ∥AB，P點(diǎn)在AC上（與點(diǎn)A、C不重合），Q點(diǎn)在BC上．
①當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，CP的長(zhǎng)等于

 

．
②當(dāng)△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí)，CP的長(zhǎng)等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：①由條件可求得△ABC和△PCQ的比，再利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求得CP；
②設(shè)PC=x，利用平行線分線段成比例可表示出CQ和PQ，結(jié)合條件可求得x．

解答：解：①∵S_△PQC=S_{四邊形PABQ}，
∴S_△ABC=2S_△PQC，
∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC，
∴

CP

AB

=

S△PQC S△ABC

=

1 2

=

2

2

，
即

CP

8

=

2

2

，
∴CP=4

2

，
故答案為：4

2

；
②設(shè)CP=x，
∵PQ∥AB，
∴

CP

AC

=

CQ

BC

=

PQ

AB

，即

x

8

=

CQ

6

=

PQ

10

，
∴CQ=

3

4

x，PQ=

5

4

x，
∴△PQC周長(zhǎng)=CQ+PQ+CP=3x，
四邊形PABQ周長(zhǎng)=AP+PQ+BQ+AB=AC-CP+PQ+BC-CQ+AB=8-x+

5

4

x+6-

3

4

x+10=24-

1

2

x，
∴24-

1

2

x=3x，解得x=

48

7

，即CP=

48

7

，
故答案為：

48

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵，注意方程思想的應(yīng)用．