Question

9．如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，把△ADE沿AE對折，點(diǎn)D的對稱點(diǎn)F恰好落在BC上，已知折痕AE=10$\sqrt{5}$cm，且tan∠EFC=$\frac{3}{4}$，那么該矩形的周長為72cm．

Answer 1

分析 如圖，首先求出CE=3λ，則CF=4λ（λ為參數(shù)）；進(jìn)而求出BF=6λ，AB=8λ，此為解決該題的關(guān)鍵性結(jié)論；在直角△ADE中，運(yùn)用勾股定理列出關(guān)于λ的方程，求出λ即可解決問題．

解答 解：如圖，∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD，AD=BC；∠B=∠D=∠C=90°；
∵tan∠EFC=$\frac{3}{4}$，且tan∠EFC=$\frac{CE}{CF}$，
∴設(shè)CE=3λ，則CF=4λ；
由勾股定理得：EF=5λ；
由題意得：EF=ED=5λ，∠AFE=∠D=90°，
∴AB=DC=8λ，∠BAF+∠AFB=∠AFB+∠EFC，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=$\frac{BF}{AB}=\frac{3}{4}$，
∴BF=6λ，AD=BC=10λ；在直角△ADE中，
由勾股定理得：AD²+DE²=AE²，而AE=10$\sqrt{5}$，
解得：λ=2，
∴該矩形的周長=2（8λ+10λ）=72（cm）．
故答案為72cm．

點(diǎn)評 該題主要考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的方法是觀察圖形，找出圖形中隱含的等量關(guān)系；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)等知識點(diǎn)來分析、判斷、解答．