Question

拋物線y=-x²經(jīng)過(guò)平移得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

5

2

，

9

4

），拋物線與x軸的交點(diǎn)為A，與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)B．
（1）求拋物線的表達(dá)式；  
（2）P是y軸正半軸上一點(diǎn)，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專(zhuān)題：

分析：（1）拋物線平移后的二次項(xiàng)系數(shù)不變，利用頂點(diǎn)式方程寫(xiě)出拋物線解析式即可；
（2）根據(jù)（1）中拋物線的解析式求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．設(shè)P（x，0）（x＞0），利用等腰三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式可以求得x的值；

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²經(jīng)過(guò)平移得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

5

2

，

9

4

），
∴平移后的拋物線解析式為：y=-（x-

5

2

）²+

9

4

．

（2）設(shè)P（x，0）（x＞0）．
由（1）知，平移后的拋物線解析式為：y=-（x-

5

2

）²+

9

4

．
當(dāng)y=0時(shí)，-（x-

5

2

）²+

9

4

=0，
解得 x₁=1，x₂=4，
即：A（0，1）或（0，4）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-4，即B（0，-4）．
①當(dāng)A（0，1）時(shí)，AB=

1+42

=

17

，
則x-1=

17

，
故x=1+

17

．
所以 P（1+

17

，0）；
②當(dāng)A（0，4）時(shí)，AB=

1+42

=

17

，
則x-4=

17

，
故x=4+

17

．
所以 P（4+

17

，0）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（1+

17

，0）或（4+

17

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．