Question

9．已知△ABC的兩邊之和為10，第三邊上的高為3，其外接圓半徑（　�。�

• A． 有最大值$\frac{25}{6}$
• B． 有最小值$\frac{25}{6}$
• C． 有最大值5
• D． 有最小值5

Answer 1

分析 作直徑，因為直徑所對的圓周角為90°，構(gòu)建了直角△ABE，證明△ADC∽△ABE，列比例式，設(shè)⊙O的半徑為y，AC=x，則AB=10-x，代入比例式中，得y與x的函數(shù)關(guān)系式，求最值即可．

解答 解：如圖，作直徑AE，連接BE，則∠ABE=90°，
由已知得：AB+AC=10，AD⊥BC，且AD=3，
設(shè)⊙O的半徑為y，AC=x，則AB=10-x，
∵∠ADC=∠ABE=90°，∠E=∠C，
∴△ADC∽△ABE，
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{x}{2y}=\frac{3}{10-x}$，
∴y=-$\frac{1}{6}{x}^{2}$+$\frac{5}{3}$x，
∵-$\frac{1}{6}$＜0，
∴y有最大值，
y_最大值=$\frac{-（\frac{5}{3}）^{2}}{4×（-\frac{1}{6}）}$=$\frac{25}{6}$，
故選A．

點評 本題是三角形的外接圓，熟練掌握圓中有關(guān)的性質(zhì)：①直徑所對的圓周角為90°，②同弧或等弧所對的圓周角相等；與二次函數(shù)結(jié)合求外接圓半徑的最值．