Question

1．如圖，矩形ABCD的長(zhǎng)和寬分別為6和4，E、F、G、H依次是矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)等于（　　）

• A． 20
• B． 10
• C． 4$\sqrt{13}$
• D． 2$\sqrt{13}$

Answer 1

分析 根據(jù)矩形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理求證EF=GH=FG=EH，然后利用四條邊都相等的平行四邊形是菱形．根據(jù)菱形的性質(zhì)來(lái)計(jì)算四邊形EFGH的周長(zhǎng)即可．

解答 解：如圖，連接BD，AC．
在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，∠DAB=90°，則由勾股定理易求得BD=AC=2$\sqrt{13}$．
∵矩形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)，
∴EF為△ABC的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{13}$，EF∥AC，
又GH為△BCD的中位線，
∴GH=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{13}$，GH∥AC，
∴HG=EF，HG∥EF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
同理可得：FG=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{13}$，EH=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{13}$，
∴EF=GH=FG=EH=$\sqrt{13}$，
∴四邊形EFGH是菱形．
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)是：4EF=4$\sqrt{13}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查學(xué)生對(duì)菱形的判定、三角形中位線定理、和矩形的性質(zhì)的理解和掌握，證明此題的關(guān)鍵是利用三角形中位線定理求證EF=GH=FG=EH．