Question

11．如圖所示，將矩形ABCD沿AE折疊得到△AFE，且點(diǎn)D恰好落在DC上．
（1）求證：△ADF∽△FCE；
（2）若tan∠CEF=2，求tan∠AEB的值．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)椤鰽EF是由△AEB翻折得到，推出∠AFB=∠B=90°，推出∠AFD+∠EFC=90°，∠EFC+∠FEC=90°，推出∠AFC=∠FEC，由此即可證明．
（2））由tan∠FEC=$\frac{FC}{EC}$=2，推出CF=2EC，設(shè)EC=a，則FC=2a，EF=EB=$\sqrt{5}$a，由△ADF∽△FCE，得$\frac{CF}{AD}$=$\frac{EC}{DF}$，即$\frac{2a}{a+\sqrt{5}a}$=$\frac{a}{DF}$，推出DF=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$a，根據(jù)tan∠AEB=$\frac{AB}{EB}$計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AD=BC，∠D=∠C=∠B=90°，
∵△AEF是由△AEB翻折得到，
∴∠AFB=∠B=90°，
∴∠AFD+∠EFC=90°，∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠AFC=∠FEC，∵∠D=∠C，
∴△ADF∽△FCE．

（2）∵tan∠FEC=$\frac{FC}{EC}$=2，
∴CF=2EC，設(shè)EC=a，則FC=2a，EF=EB=$\sqrt{5}$a，
∵△ADF∽△FCE，
∴$\frac{CF}{AD}$=$\frac{EC}{DF}$，
∴$\frac{2a}{a+\sqrt{5}a}$=$\frac{a}{DF}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$a，
∴AB=CD=DF+CF=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$a，
∴tan∠AEB=$\frac{AB}{EB}$=$\frac{\frac{5+\sqrt{5}}{2}a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查矩形的性質(zhì)、翻折變換、相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考常考題型．