Question

1．如圖，已知菱形ABCD，點(diǎn)P、Q在直線BD上，點(diǎn)P在點(diǎn)Q左側(cè)，AP∥CQ．
（1）如圖1，當(dāng)∠ABC=90°，點(diǎn)P、Q在線段BD上時(shí)，求證：BP+BQ=$\sqrt{2}$BA；
（2）如圖2，當(dāng)∠ABC=60°，點(diǎn)P在線段DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究BP、BQ、BA之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)證明△ABP≌CDQ即可，證明菱形ABCD為正方形，得到BD=$\sqrt{2}$BA，得到答案；
（2）連接AC交BD于點(diǎn)H，證明BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BA，又BP=DQ，得到答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠ABP=∠CDQ．
∵AP∥CQ，
∴∠APD=∠CQB．
∴∠APB=∠CQD．
在△ABP和CDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠CQD}\\{∠ABP=∠CDQ}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CDQ（AAS）．
∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形．
∴∠ABD=45°，∠BAD=90°．
∴在Rt△ABD中，BD=$\frac{BA}{cos45°}$=$\sqrt{2}$BA，
由△ABP≌△CDQ，則BP=DQ，
∴BP+BQ=DQ+BQ=BD．
∴BP+BQ=$\sqrt{2}$BA．

（2）BP、BQ、BA之間的數(shù)量關(guān)系是BQ-BP=$\sqrt{3}$BA．
理由如下：如圖2，連接AC交BD于點(diǎn)H．
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠ABH=30°，∠AHB=90°，BD=2BH．
∴BH=AB•cos∠ABH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BA，
由（1）得  BP=DQ，
∴BQ-BP=BQ-DQ=BD=$\sqrt{3}$BA．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是菱形的性質(zhì)，掌握菱形的四條邊相等、對(duì)角線互相垂直和銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，注意確定三角形的性質(zhì)和判定的靈活運(yùn)用．