Question

如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿線段AB向點B運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿折線B-C-A運動，且速度為每秒2cm，當(dāng)點Q到達(dá)點A時，P、Q兩點同時停止運動，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．
（1）當(dāng)點Q在邊BC上運動時，出發(fā)幾秒鐘，△PQB能形成等腰三角形？
（2）當(dāng)點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間（只要直接寫出答案）．

Answer 1

考點：等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)題意可知AP=t，BQ=2t，根據(jù)條件可得到BP=BQ，得到關(guān)于t的方程可求得t；
（2）分BQ=BC，CQ=BC和BQ=CQ三種情況分別討論得到關(guān)于t的方程，求出t即可．

解答：解：（1）由題意可知AP=t，BQ=2t，
∵AB=8，
∴BP=AB-AP=8-t，
當(dāng)△PQB為等腰三角形時，則有BP=BQ，
即8-t=2t，解得t=

8

3

，
∴出發(fā)

8

3

秒后△PQB能形成等腰三角形；
（2）在△ABC中，由勾股定理可求得AC=10，
當(dāng)點Q在AC上時，AQ=BC+AC-2t=16-2t，所以CQ=AC-AQ=10-（16-2t）=2t-6，
當(dāng)BQ=BC=6時，如圖1，過B作BD⊥AC，則CD=

1

2

CQ=t-3，在Rt△ABC中，可求得BD=

24

5

，
在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC²=BD²+CD²，即6²=（

24

5

）²+（t-3）²，解得t=

33

5

或t=-

3

5

＜0（舍去）；

當(dāng)CQ=BC=6時，則2t-6=6，解得t=6，
當(dāng)CQ=BQ時，則∠C=∠QBC，
∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA，
∴∠A=∠QBA，
∴QB=QA，
∴CQ=

1

2

AC=5，即2t-6=5，解得t=5.5，
綜上可知當(dāng)△BCQ為等腰三角形時，t=

33

5

或t=6或t=5.5．

點評：本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關(guān)鍵，利用t表示出線段的長度，化動為靜是解決這類問題的常用思路．