Question

12．如圖，拋物線$y=-\frac{2}{3}{x^2}+\frac{10}{3}x$的圖象與x軸交于A點(diǎn)，過A作BA⊥OA，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，將Rt△OAB沿OB折疊后，使點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，且tan∠COA=$\frac{4}{3}$．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)C是否在該拋物線上？
（2）若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，且位于線段OC的上方，求點(diǎn)M到OC的最大距離；
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使∠OAP=∠BOA？若存在，請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，首先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理得出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出答案；
（2）首先確定OC的解析式，進(jìn)而確定平行于OC的直線解析式，然后聯(lián)立解析式，得出關(guān)于m的方程，利用判別式為0求出m的值，再利用∠OCD的正弦求解，可得結(jié)論；
（3）先得出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）或（0，-2），進(jìn)而直線AP的解析式，并與拋物線解析式聯(lián)立，解方程組可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖所示：過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵拋物線$y=-\frac{2}{3}{x^2}+\frac{10}{3}x$的圖象與x軸交于A點(diǎn)，
∴0=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{10}{3}$x，
解得：x₁=0，x₂=5，
∴A（5，0），
又∵tan∠COA=$\frac{4}{3}$，AC=AO=5，
∴DC=4，OD=3，
∴C（3，4），
當(dāng)x=3時，y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{10}{3}$x=4，
∴點(diǎn)C在拋物線上；

（2）∵C（3，4），
∴直線OC的解析式為y=$\frac{4}{3}$x，
設(shè)點(diǎn)M到OC的最大距離時，平行于OC的直線解析式為y=$\frac{4}{3}$x+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+m}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{10}{3}x}\end{array}\right.$，
消掉未知數(shù)y并整理得，2x²-6x+3m=0，
△=（-6）²-24m=0，
解得：m=$\frac{3}{2}$．
設(shè)點(diǎn)M到OC的最大距離為x，
∵∠NOM=∠OCD，
∴sin∠OCD=sin∠NOM=$\frac{3}{5}$，
則$\frac{x}{\frac{3}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
解得：x=$\frac{9}{10}$；

（3）∵∠OAP=∠BOA，
∴OP=OA，
∴與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）或（0，-2），
當(dāng)直線AP經(jīng)過點(diǎn)（2$\sqrt{3}$，0）、（0，2）時，解析式為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2\sqrt{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2\sqrt{3}}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{{y}_{2}=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$．
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{5}{3}$），
當(dāng)直線AP經(jīng)過點(diǎn)（2$\sqrt{3}$，0）、（0，-2）時，解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2\sqrt{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2\sqrt{3}}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{7}{3}$）．
綜上所述，存在一點(diǎn)（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{5}{3}$）或（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{7}{3}$），使∠OAP=∠BOA．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了圖形的翻折變換，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，直線與拋物線的交點(diǎn)的求法等知識，具有一定的綜合性與難度，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．