Question

15．如圖，Rt△ABC中，∠BCA=90°，AB=$\sqrt{5}$，AC=2，D為斜邊AB上一動點（不與點A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，連接EF，則EF的最小值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 連接CD，易證四邊形CEDF是矩形，根據(jù)矩形的性質可知CD=EF，所以CD最小時則EF最小，根據(jù)垂線段最短可知CD⊥AB時，CD最短問題得解．

解答 解：連接CD，如圖所示：
∵∠BCA=90°，AB=$\sqrt{5}$，AC=2，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=1，
∵∠BCA=90°，DE⊥BC，DF⊥AC
∴四邊形EDFC為矩形，
∴EF=CD，
∴當CD⊥AB時，CD最短，
∵CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{2×1}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴EF的最小值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了勾股定理的運用，矩形的判定和性質以及垂線段最短的性質，同時也考查了學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．