Question

16．已知，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F為垂足，EM⊥AD，F(xiàn)N⊥BC，M、N為垂足．求證：MF∥EN，MF=EN．

Answer 1

分析 由平行四邊形的性質(zhì)和垂線的性質(zhì)得出EM∥FN，由AAS證明△ADE≌△CBF，得出△ADE的面積=△CBF的面積，得出EM=NF，證出四邊形MENF是平行四邊形，即可得出結論．

解答 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵EM⊥AD，F(xiàn)N⊥BC，
∴EM∥FN，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在△ADE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CBF}&{\;}\\{∠AED=∠CFB}&{\;}\\{AD=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴△ADE的面積=△CBF的面積，
∴EM=NF，
∴四邊形MENF是平行四邊形，
∴MF∥EN，MF=EN．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明四邊形MENF是平行四邊形是解決問題的關鍵．