Question

17．類比平行四邊形，我們學(xué)習(xí)箏形，定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．如圖①，若AD=CD，AB=CB，則四邊形ABCD是箏形．
（1）在同一平面內(nèi)，△ABC與△ADE按如圖②所示放置，其中∠B=∠D=90°，AB=AD，BC與DE相交于點(diǎn)F，請(qǐng)你判斷四邊形ABFD是不是箏形，并說明理由．
（2）請(qǐng)你結(jié)合圖①，寫出一個(gè)箏形的判定方法（定義除外）．
在四邊形ABCD中，若AD=CD，∠ADB=∠CDB，則四邊形ABCD是箏形．
（3）如圖③，在等邊三角形OGH中，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$-1，0），在直線l：y=-x上是否存在點(diǎn)P，使得以O(shè)，G，H，P為頂點(diǎn)的四邊形為箏形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AF，通過給定的條件結(jié)合全等直角三角形的判定定理（HL）可得出Rt△AFB≌Rt△AFD，由此找出BF=DF，結(jié)合箏形定義即可得出結(jié)論；
（2）若要四邊形ABCD是箏形，只需證明△ABD≌△CBD即可．根據(jù)全等三角形的判定定理（SAS）隨便選取一組條件“當(dāng)AD=CD，∠ADB=∠CDB”來證明；
（3）過點(diǎn)H作HP₁⊥OG于點(diǎn)M交直線y=-x于點(diǎn)P₁點(diǎn)，連接GP₁，過點(diǎn)G作GP₂⊥OH與N交直線y=-x于點(diǎn)P₂，連接HP₂，由等邊三角形的三線合一可得知“HM為OG的垂直平分線，GN為OH的垂直平分線”，由此即得出“四邊形OHGP₁為箏形，四邊形OGHP₂為箏形”，再根據(jù)給定條件找出點(diǎn)M、N、H點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出直線HM和直線GN的解析式，最后結(jié)合兩直線的交點(diǎn)知識(shí)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）四邊形ABFD是箏形．
理由：如圖②，連接AF．

在Rt△AFB和Rt△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFB≌Rt△AFD（HL），
∴BF=DF，
又∵AB=AD，
∴四邊形ABFD是箏形．
（2）若要四邊形ABCD是箏形，只需△ABD≌△CBD即可．
當(dāng)AD=CD，∠ADB=∠CDB時(shí)，在△ABD和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADB=∠CDB}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴AB=CB，
∴四邊形ABCD是箏形．
故答案為：AD=CD，∠ADB=∠CDB．
（3）存在，理由如下：
過點(diǎn)H作HP₁⊥OG于點(diǎn)M交直線y=-x于點(diǎn)P₁點(diǎn)，連接GP₁，過點(diǎn)G作GP₂⊥OH與N交直線y=-x于點(diǎn)P₂，連接HP₂，如圖③所示．

∵△OGH為等邊三角形，
∴HM為OG的垂直平分線，GN為OH的垂直平分線，且OG=GH=HO，
∴P₂O=P₂H，P₁O=P₁G，
∴四邊形OHGP₁為箏形，四邊形OGHP₂為箏形．
∵△OGH為等邊三角形，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$-1，0），
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$）．
①∵H（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$），M（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，0），
∴直線HM的解析式為x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
令直線y=-x中的x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，則y=-$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
∴P₁的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）；
②設(shè)直線GN的解析式為y=kx+b，則有，
$\left\{\begin{array}{l}{0=（\sqrt{3}-1）k+b}\\{\frac{3-\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}-1}{4}k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{3-\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線GN的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{3-\sqrt{3}}{3}}\\{y=-x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
故點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（-1，1）．
綜上可知：在直線l：y=-x上存在點(diǎn)P，使得以O(shè)，G，H，P為頂點(diǎn)的四邊形為箏形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）或（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、箏形的應(yīng)用、全等三角形的判定及性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）找出BF=DF；（2）證明△ABD≌△CBD；（3）找出點(diǎn)P的位置．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大，（3）難度也不大，但在實(shí)際做題中，部分圖形往往會(huì)落下一種情況，因此在日常的練習(xí)中應(yīng)時(shí)刻提醒孩子們注意思考問題的全面性．