Question

9．如圖，已知點(diǎn)A是雙曲線$y=\frac{{\sqrt{6}}}{x}$在第一象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，且隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也在不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線$y=\frac{k}{x}$上運(yùn)動(dòng)，則k的值是-3$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出OA=OB，連接OC，過點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和解直角三角形求出OC=$\sqrt{3}$OA，求出△OFC∽△AEO，相似比$\frac{OC}{OA}=\sqrt{3}$，求出面積比$\frac{{{S_△}_{OFC}}}{{{S_△}_{AEO}}}=3$，求出△OFC的面積，即可得出答案．

解答 解：∵雙曲線$y=\frac{{\sqrt{6}}}{x}$的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴OA=OB，
連接OC，如圖所示，
∵△ABC是等邊三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°，
∴tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴OC=$\sqrt{3}$OA，
過點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°-∠FOC=∠OCF，
∴△OFC∽△AEO，相似比$\frac{OC}{OA}=\sqrt{3}$，
∴面積比$\frac{{{S_△}_{OFC}}}{{{S_△}_{AEO}}}=3$，
∵點(diǎn)A在第一象限，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，b），
∵點(diǎn)A在雙曲線$y=\frac{{\sqrt{6}}}{x}$上，
∴S_△AEO=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴S_△OFC=$\frac{1}{2}$FC•OF=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∴設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），
∵點(diǎn)C在雙曲線$y=\frac{k}{x}$上，
∴k=xy，
∵點(diǎn)C在第四象限，
∴FC=x，OF=-y．
∴FC•OF=x•（-y）=-xy=-$3\sqrt{6}$，
故答案為：-3$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行 推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．