Question

7．如圖△ABC為等腰直角三角形，其中∠A=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，將一含45°角的三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)落在點(diǎn)D處，三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，三角板兩邊分別與AB邊與AC邊交于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)．
（1）求證：△BDE∽△CFD．
（2）△BDE和△EDF是否相似，若相似，請(qǐng)證明，若不相似，說(shuō)明理由．
（3）若EF為x，△EDF的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）找出△BDE與△CFD的對(duì)應(yīng)角，其中∠BDE+∠CDF=135°，∠CDF+∠CFD=135°，得出∠BDE=∠CFD，從而解決問(wèn)題；
（2）由（1）△BDE∽△CFD得出CD：BE=DF：DE，進(jìn)而得出 DB：BE=DF：DE即可得出結(jié)論；
（3）由（2）得出對(duì)應(yīng)邊成比例，和三角形的面積公式求解即可．

解答 （1）證明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠B+∠BDE+∠BED=180°，
∴∠BDE+∠BED=135°，
∵∠EDF=45°，
又∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，
∴∠BDE+∠CDF=135°，
∴∠BED=∠CDF，
又∵∠B=∠C，
∴△BDE∽△CFD（兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）；
（2）△BDE∽△DFE
理由：由（1）知，△BDE∽△CFD，
得 CD：BE=DF：DE，
而CD=BD，
∴DB：BE=DF：DE．
∵∠EBD=∠EDF，
∴△BDE∽△DFE（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似）．
（3）△ABC為等腰直角三角形，且AB=AC=2，D為BC中點(diǎn)，
∴BD=$\sqrt{2}$．
設(shè)ED=y，
∵△BDE∽△DFE，
∴$\frac{ED}{BE}=\frac{FD}{BD}=\frac{FE}{ED}$，
即 $\frac{y}{BE}=\frac{FD}{\sqrt{2}}=\frac{x}{y}$，
解得：FD=$\frac{\sqrt{2}x}{y}$，
則S_△EDF=$\frac{1}{2}$•sin45°•ED•FD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$•ED•FD．
∵ED•FD=$\sqrt{2}$x．
∴S=$\frac{1}{2}$x

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似三角形的判定．它以每位學(xué)生都有的三角板在圖形上的運(yùn)動(dòng)為背景，既考查了學(xué)生圖形旋轉(zhuǎn)變換的思想，靜中思動(dòng)，動(dòng)中求靜的思維方法，又考查了學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究的能力