Question

15．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，P、Q分別為AB、AC的點，且∠QPC=45°，PQ=BC，證明：BC=CQ．

Answer 1

分析 以BC為邊，在△ABC內(nèi)構(gòu)造等邊三角形DBC，連接DA、DP、DQ，得平行四邊形BDPQ，利用平行四邊形的性質(zhì)說明PQ=DB=BC．

解答 證明：在△ABC內(nèi)部做等邊三角形DBC，連接DQ，DP，AD
∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°
∴∠ABC=∠ACB=75°
∵等邊三角形DBC中
∴BC=DB=DC
∴∠DBC=∠DCB=60°
∴∠ABD=∠ACD=15°
在△ABD與△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴∠BAD=∠CAD=15°
∴∠DBA=∠BAD，∠DAC=∠DCA
∴BD=AD=CD
∵∠BAC=30°，∠QPC=45°
∴∠AQP=∠QPC-∠BAC=15°
∴∠AQP=∠ABD
∴PQ∥BD
∵PQ=BC
∴PQ∥BD，PQ=BD
∴四邊形BDPQ是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）
∴BQ=DP，BQ∥DP（平行四邊形兩組對邊分別相等且平行）
∴∠QPD=∠ABD=15°（平行四邊形對角相等）
∴∠DPC=30°
∴∠DPC=∠PAQ=30°，∠DCP=∠PQA=15°
∴CD=QP
在△DPC與△PAQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCP=∠PQA}\\{∠DPC=∠PAQ}\\{CD=QP}\end{array}\right.$
∴△DPC≌△PAQ（AAS）
∴DP=AP
在梯形AQDP中，AQ∥DP，PQ=BD=AD
∴DQ=AP（對角線相等的梯形是等腰梯形）
∴DP=DQ
∴BQ=DQ
在△BCQ與△DCQ中
$\left\{\begin{array}{l}{QC=QC}\\{BC=DC}\\{BQ=DQ}\end{array}\right.$
∴△BCQ≌△DCQ（SSS）
∴∠BCQ=∠DCQ=30°
∵△BCQ中，∠DCQ=30°，∠CBQ=75°
∴∠CQB=75°=∠CBQ
∴BC=CQ

點評 本題考查了等腰三角形、等邊三角形、以及平行四邊形的性質(zhì)．做等邊三角形構(gòu)造平行四邊形是關(guān)鍵．另本題的解決亦可運用反證法或者統(tǒng)一法．