Question

5．如圖，正五邊形的邊長為2，連結(jié)對(duì)角線AD，BE，CE，線段AD分別與BE和CE相交于點(diǎn)M，N．給出下列結(jié)論：①∠AME=108°；②AN²=AM•AD；③MN=3-$\sqrt{5}$；④S_△EBC=2$\sqrt{5}$-1．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；由于∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，得到∠AEN=∠ANE，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到AE=AN，同理DE=DM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AE}{AD}=\frac{AM}{AE}$，等量代換得到AN²=AM•AD；根據(jù)AE²=AM•AD，列方程得到MN=3-$\sqrt{5}$；在正五邊形ABCDE中，由于BE=CE=AD=1+$\sqrt{5}$，得到BH=$\frac{1}{2}$BC=1，根據(jù)勾股定理得到EH=$\sqrt{（1+\sqrt{5}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$，根據(jù)三角形的面積得到結(jié)論．

解答 解：∵∠BAE=∠AED=108°，
∵AB=AE=DE，
∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，
∴∠AME=180°-∠EAM-∠AEM=108°，故①正確；
∵∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，
∴∠AEN=∠ANE，
∴AE=AN，
同理DE=DM，
∴AE=DM，
∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，
∴△AEM∽△ADE，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AM}{AE}$，
∴AE²=AM•AD；
∴AN²=AM•AD；故②正確；
∵AE²=AM•AD，
∴2²=（2-MN）（4-MN），
∴MN=3-$\sqrt{5}$；故③正確；
在正五邊形ABCDE中，
∵BE=CE=AD=1+$\sqrt{5}$，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴EH=$\sqrt{（1+\sqrt{5}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$，
∴S_△EBC=$\frac{1}{2}$BC•EH=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$=$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$，故④錯(cuò)誤；
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正五邊形的性質(zhì)，熟練掌握正五邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．