Question

如圖，BD、CE是△ABC的高，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，連接DE、DF、EF，下列結(jié)論：
①DF=EF；②AD：AB=AE：AC；③BE+CD=BC；④若∠A=60°，則△DEF是等邊三角形，其中正確的是

 

（在橫線上填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定,直角三角形斜邊上的中線

專題：壓軸題

分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定、銳角三角函數(shù)的定義分析即可．

解答：解：①∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵F為BC的中點(diǎn)，
∴EF=DF=

1

2

BC，
故①正確；
②∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△AEC，
∴

AD

AE

=

AB

AC

，
∴AD：AB=AE：AC；
故②正確；
③∵∠BAC=60°，BD、CE為高，
∴∠ABD=∠ACE=30°，
∴∠DBC+∠ECB=180°-∠A-∠ABD-∠ACE=60°，
∴∠CBD=60°-∠BCE，
∴BE+CD=BC•sin∠BCE+BC•sin∠CBD=BC•（sin∠BCE+sin∠CBD）=BC•[sin∠BCE+sin（60°-∠BCE）]，
不一定等于BC，故③不正確；
④∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵DF=CF，EF=BF，
∴∠BEF+∠CDF=120°，
∴∠BFE+∠CFD=120°，
∴∠DFE=60°，
又∵DF=EF，
∴△DEF是等邊三角形；故④正確；
∴正確的結(jié)論是①②④，
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定、銳角三角函數(shù)的定義．本題綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．