Question

6．如圖，O為坐標(biāo)原點，四邊形OACB是菱形，OB在x軸的正半軸上，sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，反比例函數(shù)y=$\frac{48}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點A，與BC交于點F，則△AOF的面積等于40．

Answer 1

分析 過點A作AM⊥x軸于點M，設(shè)OA=a，通過解直角三角形找出點A的坐標(biāo)，結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出a的值，再根據(jù)四邊形OACB是菱形、點F在邊BC上，即可得出S_△AOF=$\frac{1}{2}$S_菱形OBCA，結(jié)合菱形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：過點A作AM⊥x軸于點M，如圖所示．
設(shè)OA=a，
在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，
∴AM=OA•sin∠AOB=$\frac{4}{5}$a，OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{3}{5}$a，
∴點A的坐標(biāo)為（$\frac{3}{5}$a，$\frac{4}{5}$a）．
∵點A在反比例函數(shù)y=$\frac{48}{x}$的圖象上，
∴$\frac{3}{5}$a×$\frac{4}{5}$a=$\frac{12}{25}$a²=48，
解得：a=10，或a=-10（舍去）．
∴AM=8，OM=6，OB=OA=10．
∵四邊形OACB是菱形，點F在邊BC上，
∴S_△AOF=$\frac{1}{2}$S_菱形OBCA=$\frac{1}{2}$OB•AM=40．
故答案是：40．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是找出S_△AOF=$\frac{1}{2}$S_菱形OBCA．