Question

17．如圖，點(diǎn)O為正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使FC=EC，連結(jié)DF交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連結(jié)OH交DC于點(diǎn)G，連結(jié)HC．則以下四個(gè)結(jié)論中：①OH∥BF，②GH=$\frac{1}{4}$BC，③OD=$\frac{1}{2}$BF，④∠CHF=45°．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 4個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 1個(gè)

Answer 1

分析 ①只要證明OH是△DBF的中位線即可得出結(jié)論；
②根據(jù)OH是△BFD的中位線，得出GH=$\frac{1}{2}$CF，由GH＜$\frac{1}{4}$BC，可得出結(jié)論；
③易證得△ODH是等腰三角形，繼而證得OD=$\frac{1}{2}$BF；
④根據(jù)四邊形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分線可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出結(jié)論．

解答 解：∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，
∴∠DEH+∠CDF=90°，
∴∠BHD=∠BHF=90°，
∵BH=BH，∠HBD=∠HBF，
∴△BHD≌△BHF，
∴DH=HF，∵OD=OB
∴OH是△DBF的中位線
∴OH∥BF；故①正確；
∴OH=$\frac{1}{2}$BF，∠DOH=∠CBD=45°，
∵OH是△BFD的中位線，
∴DG=CG=$\frac{1}{2}$BC，GH=$\frac{1}{2}$CF，
∵CE=CF，
∴GH=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$CE
∵CE＜CG=$\frac{1}{2}$BC，
∴GH＜$\frac{1}{4}$BC，故②錯(cuò)誤．
∵四邊形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分線，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，
∵CE=CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠EBC=∠CDF=22.5°，
∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，
∵OH是△DBF的中位線，CD⊥AF，
∴OH是CD的垂直平分線，
∴DH=CH，
∴∠CDF=∠DCH=22.5°，
∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，
∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故④正確；
∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，
∴∠OHD=180°-∠ODH-∠DOH=67.5°，
∴∠ODH=∠OHD，
∴OD=OH=$\frac{1}{2}$BF；故③正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)．解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)逐步解答．