Question

如圖，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC邊上任意一點，E是BC延長線上一點，連接AP，作PF⊥AP，使PF=PA，連接CF，AF，AF交CD邊于點G，連接PG．
（1）求證：∠GCF=∠FCE；
（2）判斷線段PG，PB與DG之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；
（3）若BP=2，在直線AB上是否存在一點M，使四邊形DMPF是平行四邊形？若存在，求出BM的長度；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：正方形的性質,全等三角形的判定與性質,平行四邊形的判定

專題：

分析：（1）過點F作FH⊥BE于點H，利用正方形的性質，證得△BAP≌△HPF得出PH=AB，BP=FH進一步得出BP+PC=PC+CH，CH=BP=FH，∠FHC=90°，求得∠DCF=90°-45°=45°得出結論；
（2）延長PB至K，使BK=DG，連接AK，證得△ABK≌△ADG和△KAP≌△GAP，找出邊相等得出結論；   
（3）首先判定存在，在直線AB上取一點M，使四邊形DMPF是平行四邊形，證得△ABP≌△DAM，進一步球的結論即可．

解答：（1）證明：如圖，

過點F作FH⊥BE于點H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠PHF=∠DCB=90°，AB=BC，
∴∠BAP+∠APB=90°
∵AP⊥PF，
∴∠APB+∠FPH=90°
∴∠FPH=∠BAP
在△BAP和△HPF中，∠ABP=∠PHF
在△BAP和△HPF中，

∠ABP=∠PHF ∠BAP=∠FPH AP=PF

，
∴△BAP≌△HPF（AAS） 
∴PH=AB，BP=FH
∴PH=BC
∴BP+PC=PC+CH
∴CH=BP=FH   …
而∠FHC=90°．
∴∠FCH=CFH=45°
∴∠DCF=90°-45°=45°
∴∠GCF=∠FCE；
（2）PG=PB+DG 
證明：如圖，

延長PB至K，使BK=DG，連接AK，
∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠ABK=ADG=90°
在△ABK和△ADG中，

AB=AD ∠ABK=∠ADG BK=DG

，
∴△ABK≌△ADG（SAS）  
∴AK=AG，∠KAB=∠GAD，
而∠APF=90°，AP=PF
∴∠PAF=∠PFA=45°
∴∠BAP+∠KAB=∠KAP=45°=∠PAF
在△KAP和△GAP中，

AK=AG ∠KAP=∠GAP AP=AP

，
∴△KAP≌△GAP（SAS）   
∴KP=PG，
∴KB+BP=DG+BP=PG
即，PG=PB+DG； 
（3）存在．
如圖，

在直線AB上取一點M，使四邊形DMPF是平行四邊形，
則MD∥PF，且MD=FP
又∵PF=AP，
∴MD=AP
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABP=∠DAM=90°
在Rt△ABP和Rt△DAM中   

MD=AP AB=AD

∴Rt△ABP≌Rt△DAM（HL）   
∴AM=BP=2，
∴BM=AB-AM=5-2=3．
∴當BM=3，BM+AM=AB時，四邊形DMPF是平行四邊形．

點評：此題考查了正方形的性質，結合了三角形全等的判定與性質，屬于綜合性比較強的題目，并涉及到探究性試題，解決本類試題要先求解，然后給出結論，再進行證明．