Question

3．如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，將BC按逆時(shí)針方向繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BE，連接AE．若AB=2，DC=4，則△ABE的面積為2．

Answer 1

分析 求出四邊形ABFD是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AB=DF=2，然后求出CF=1，再求出∠FBC=∠EBG，然后利用“角角邊”證明△FBC和△GBE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EG=CF=1，再利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答 解：如圖：過點(diǎn)B作BF⊥DC與點(diǎn)F，
∵AB⊥AD，CD⊥AD，BF⊥DC，
∴∠D=∠BAD=∠BFD=90°，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴BF=AD，AB=DF=2，∠BFC=∠FBG=90°，
∵DC=4，DF=2，
∴CF=DC-DF=4-2=2，
∵BC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)E，
∴∠CBE=90°，BC=BE，
∵∠EBC=∠FBG=90°，
∴∠CBF=∠EBG=90°-∠CBG，
∴∠CDF=∠EDG，
在△BFC和△BGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFC=∠G}\\{∠FBC=∠EBG}\\{BC=BE}\end{array}\right.$，
∴△BFC≌△BGE（AAS），
∴EG=CF=2，
∴△ABE的面積=$\frac{1}{2}$AB•EG=$\frac{1}{2}$×2×2=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角梯形，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．